淺談全概率公式的教學(xué)體會(huì)

全概率公式是概率論中的一個(gè)重要公式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中“整體→部分→整體”的重要思想。通過(guò)對(duì)全概率公式的學(xué)習(xí)，使學(xué)生養(yǎng)成利用數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際問(wèn)題的習(xí)慣。

全概率公式劃分定積分全概率公式是概率論中最基本和最重要的公式之一，通過(guò)化整為零的思想大大降低思考問(wèn)題的難度，進(jìn)而解決復(fù)雜問(wèn)題。在教學(xué)過(guò)程中，筆者采用先了解整體，再把整體分割成部分，通過(guò)各部分問(wèn)題的解決，最后解決整體問(wèn)題的思想，使學(xué)生對(duì)此公式有一個(gè)大致的印象，為掌握全概率公式打下良好的基礎(chǔ)。

一、全概率公式的教學(xué)引入

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，我們?cè)龅竭^(guò)求解由三角形和圓的一部分和矩形拼成一個(gè)不規(guī)則圖形的面積問(wèn)題。具體的解題方法是把這個(gè)不規(guī)則圖形通過(guò)劃分，看作是由一些規(guī)則圖形拼接而成，借助于一些簡(jiǎn)單公式求每一個(gè)部分規(guī)則圖形的面積，進(jìn)而解決問(wèn)題。在高等數(shù)學(xué)中的分段函數(shù)的定積分求解問(wèn)題中，當(dāng)被積函數(shù)在整個(gè)積分區(qū)間的表達(dá)式不是唯一時(shí)，需要把整個(gè)積分區(qū)間分成若干個(gè)子區(qū)間，使被積函數(shù)在每個(gè)子區(qū)間的表達(dá)式是唯一的，通過(guò)計(jì)算每個(gè)子區(qū)間的定積分，最后解決分段函數(shù)的定積分問(wèn)題。這兩個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)是一致的，就是當(dāng)遇到一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，直接解決有一定的困難，此時(shí)通過(guò)把整體分解成若干個(gè)易于解決的小問(wèn)題，當(dāng)每個(gè)小問(wèn)題解決了，那么整個(gè)問(wèn)題也就解決了。在概率論，我們也有類(lèi)似的想法，那就是全概率公式。

全概率公式基本思想，是借助樣本空間的一種劃分，把一個(gè)復(fù)雜事件分解成若干個(gè)互不相容的事件的和事件，然后利用概率的加法公式，最后由概率的乘法公式求出每一小部分交事件的概率。這些互不相容的事件，可以看作是組成這個(gè)復(fù)雜事件的各個(gè)小部分，通過(guò)概率的乘法公式，解決每一小部分的概率計(jì)算問(wèn)題，進(jìn)而解決整個(gè)問(wèn)題。全概率公式真正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的中“整體→部分→整體”思維形式。所以在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生理解這個(gè)重要的思維方法，以助于解決復(fù)雜的問(wèn)題。

全概率公式的基本應(yīng)用，就是提供了一種求復(fù)雜事件概率的方法，下面通過(guò)兩個(gè)例子說(shuō)明這個(gè)公式的應(yīng)用。

例1.保險(xiǎn)公司認(rèn)為，人可以分為兩類(lèi)，一類(lèi)為容易出事故者，另一類(lèi)則為安全者。他們的統(tǒng)計(jì)表明，一個(gè)容易出事故者在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率為0.4，而安全者，這個(gè)概率則為0.2，若假定第一類(lèi)人占人口的比例為30%，現(xiàn)有一個(gè)新的投保人來(lái)投保，問(wèn)該人在購(gòu)買(mǎi)保單后一年內(nèi)將出事故的概率有多大？

解：記B1為“投保人為容易出事故”這一事件， 則“投保人為安全者”這一事件，A為“投保人一年內(nèi)將出事故”，由全概率公式，所求概率P（A）為：

P（A）=0.4*0.3+0.2*0.7=0.26.

在學(xué)習(xí)隨機(jī)變量函數(shù)的分布時(shí)，求一個(gè)離散型隨機(jī)變量和一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布，也需要借助于全概率公式求隨機(jī)變量的函數(shù)的分布函數(shù)。

例2.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，Y是取兩個(gè)值的離散型隨機(jī)變量，且P（Y=-1）=0.25，P（Y=1）=0.75，求Z=|X-Y|的概率密度函數(shù)。

求導(dǎo)可得Z的概率密度函數(shù)：

三、總結(jié)

幾年來(lái)，通過(guò)以上方式講解全概率公式，學(xué)生對(duì)這個(gè)概率論中的難點(diǎn)有了很好的掌握。同時(shí)認(rèn)識(shí)到，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是數(shù)學(xué)等號(hào)的游戲，而是對(duì)良好思維的形成有很大的幫助。

參考文獻(xiàn)：

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[2]崔立功.“全概率公式”的教學(xué)思考[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，（82）：52-54.