巧用構造法證明不等式

〔關鍵詞〕 數學教學；不等式；證明；構造法

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2013）23—0088—01

一、構造函數法

根據所給不等式的特征，利用函數的性質和函數的圖象來證明不等式.

例1 求函數y=的最小值.

分析：把看作一個整體，用字母t來表示，就可以把原函數轉化成一個關于字母t的對勾函數，這樣就可以利用對勾函數的圖象，并結合函數的定義，直觀地解決這個問題.

解：令=t，則有y=t+（t≥2）.

根據上圖可知，當t≥2時，y=t+是增函數，

因此，y=≥， ∴ymin=.

點評：此題用構造函數法直觀地解決了求函數值域的問題，達到了將復雜問題簡單化的目的.

二、構造方程法

對于形如a≤f（x）≤b的不等式，令y=f（x），將其整理成關于x的二次方程，利用方程有實數解？駐≥0 ，建立關于y的不等式，求解出y的范圍，達到證明不等式的目的.

例2 已知實數a、b、c滿足a+b+c=0和abc=2，求證：a、b、c中至少有一個不小于2.

分析：針對這個題中出現的有兩數和和積的情況，我們就可以想到韋達定理.可以利用韋達定理構造一個一元二次方程，然后利用一元二次方程根的判別式解決問題.

證明：根據題設知a、b、c中必有一個正數，不妨設a>0，則b+c=-a且bc=，即b、c是二次方程x2+ax+=0的兩個實根，故而？駐=a2-≥0，由此得a≥2.故a、b、c中至少有一個不小于2.

點評：此方法靈活利用韋達定理和一元二次方程根的判別式，簡單明了地解決了問題，達到了事半功倍的效果.

三、構造幾何圖形法

將不等式中的項賦予一定的幾何意義，然后利用幾何關系達到證明不等式的目的.

例3 已知0

分析：已知0

證明：構造單位正方形，如右圖所示：O是正方形內任意一點，且O到AD、AB的距離分別為a、b，則|AO|+|BO|

+|CO|+|DO|≥|AC|+|BD|

又|AC|=|BD|=，

|AO|=，

|BO|=，|CO|=，

|DO|=，

即|AO|+|BO|+|CO|+|DO|

=+++

≥|AC|+|BD|=+=2.

故+++

≥2.

點評：上述問題充分展示了代數問題的幾何解決，說明根據題目特征巧妙地利用數形結合的思想，可以化難為易，開拓解題思路.

編輯：謝穎麗