數學教學中學生反思能力的培養

〔關鍵詞〕 數學教學；反思能力；培養

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2013）20—0080—01

世界著名數學大師荷蘭的弗賴登塔爾教授曾精辟指出：“反思是數學思維活動的核心和動力，通過反思才能使學生的現實世界數學化。沒有反思，學生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平”。 那么，在數學教學中，如何培養學生的反思能力呢？下面，筆者就此談點自己的看法和體會。

一、創設探究情境，引導學生在分析問題的過程中進行反思

實踐證明，學生在解決問題的過程中，遇到解題困難出現“卡殼”時，總是能夠主動地思考和分析解題過程中的不足，從而找到解決問題的有效“途徑”。因此，高中數學教師在問題教學中，可以有意創設探究情境，引導學生進行問題分析、解答活動。在學生遇到困惑時，要求學生“回頭看”，找出問題所在，并及時地進行引導，使學生在分析、反思的過程中不斷提高解題能力。

如，在“一元二次不等式”的教學時，教師創設出“已知函數y=（k2+4k-5）x2+4（1-k）x+3對于任意實數x，函數值恒大于0，求實數k 的取值范圍”的問題情境，要求學生結合一元二次不等式進行解答。學生在探究過程中，對“k的取值范圍的確定”不能進行有效解答。此時，教師引導學生進行思考分析，使學生認識到“應分‘一次’‘二次’討論，根據函數與不等式、方程的關系”進行思考。這樣，在分析問題的過程中，學生掌握了解題方法，提高了解題能力。

二、 引導學生從不同角度反思

1.鼓勵學生一題多解。數學知識有機聯系，縱橫交錯，解題思路靈活多變，解題方法途徑繁多，但最終卻能殊途同歸。即使一次性解題合理正確，也未必能保證一次性解題就是最優最簡捷的解法。不能解答完題目后就此罷手，如釋重負，應該進一步反思，尋求更多的解題方法。

如，設x，y∈R且3x2+4y2=6x，求x2+ y2的范圍。

解法1：設k=x2+y2，代入消去y，轉化為關于x的方程有實數解時求參數k范圍的問題。

解：由6x-3x2=4y2≥0，得0≤x≤2。

設k= x2+y2，則y2=k-x2，代入已知等式，得-x2+4k-6x=0，即k= （x+3）2- 。又 0≤x≤2，∴k∈[0，4]，即x2+ y2的范圍是0≤x2+ y2≤4。

注：在解題過程中要注意x的范圍。

解法2：由3x2+4y2=6x，得（x-1）2+ =1，即表示一個橢圓，其中橢圓在x軸上的頂點分別為（0，0），（2，0），而x2+ y2的幾何意義就是橢圓上的點到坐標原點的距離的平方。結合圖形不難得出：dmin2=（0-0）2+（0-0）2=0，dmax2=（2-0）2+（0-0）2=4，即x2+ y2的范圍是0≤x2+y2≤4。

重視一題多解，可以提高知識整合，綜合運用能力，使知識系統化，從而完善解題過程，訓練了學生思維的縝密性和批判性。

2. 引導學生注重逆向反思。正難則反，當求解一個問題時，如果無法從正面人手，可轉向研究此問題的反面，從相反的方向去思考問題，尋找解題的途徑。善于逆向思維是思維靈活的一種表現，注重逆向反思是培養學生創造能力的重要途徑。

如，已知關于x的方程x3-px2-2px+p2-1=0有且只有一個實根，求實數p的取值范圍。

分析：按常規考查關于x的三次方程解的情況，由于是高次方程，求解比較困難。若將主元x與參數p易位，則會豁然開朗。此時可得關于p的二次方程p2-（x2+2x）p+x3-1=0，即（p-x+1）（p-x2-x-1）=0。解得x=p+1或x2+x+1-p=0。因原方程有且只有一個實根，故方程x2+x+1-p=0無解，于是Δ=1-4（1-p）<0，即p< 。

三、在解題后培養學生的反思能力

解完一道題后，應進一步思考：題目中所有的條件都用過了嗎？用足了嗎？（含括號內的條件），題目所要求的問題解決了嗎？解題中所引用的知識是否是書中已證明過的結論？還有沒有需要增加說明和剔除的部分等。

如，在△ABC中，三內角滿足B+C=2A，且最大邊與最小邊是方程x2-12x+32=0的兩個根，則△ABC的外接圓的面積是多少？

解：B+C=2A，又 A+B+C=180°，∴A=60°，B+C=120°。

設最大邊為c，最小邊為b，方程x2-12x+32=0的兩個根為4和8，∴b=4，c=8。又A=60°，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=48，∴a=4 。

由正弦定理的變形公式得2r=8，r=4，∴S=πr2=16π。

解題后，我引導學生從不同角度反思：在解題中聯系到哪些知識？

編輯：謝穎麗