數(shù)學(xué)課堂教學(xué)民主化離我們有多遠(yuǎn)

【摘要】數(shù)學(xué)教育是發(fā)展學(xué)生正確的心智的一種能力，理應(yīng)融數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)文化與人文精神于一體.表現(xiàn)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中，立足于“問(wèn)題導(dǎo)入的趣味性——知識(shí)生成的自然性——思考探究的獨(dú)立性——思想方法的理解性——討論空間的自由性——學(xué)習(xí)過(guò)程的自明性——質(zhì)疑反思的批判性——深度研究的廣闊性——優(yōu)美結(jié)論的欣賞性”的創(chuàng)造性思維教學(xué)模式，落實(shí)于數(shù)學(xué)教育民主化的始終，使學(xué)生盡可能多地享受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)活動(dòng)的幸福，達(dá)全面提升數(shù)學(xué)教育教學(xué)質(zhì)量之目的.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)課堂教育民主化；九步教學(xué)模式；創(chuàng)造性思維；數(shù)學(xué)理性精神

【中圖分類號(hào)】O122.2 G420

【基金項(xiàng)目】陜西省高等教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（11BY65）；陜西省教育廳科研計(jì)劃項(xiàng)目資助（項(xiàng)目編號(hào)：11JK0512）；陜西省教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃課題（SGH10119，SGH12444）；商洛學(xué)院科研項(xiàng)目（09sky001，12SKY—FWDF012）；商洛學(xué)院重點(diǎn)教改項(xiàng)目（12jyjx109）

1.問(wèn)題提出

教育質(zhì)量的提高是基于教師良知的教育理想、教育方式和教育反思的實(shí)現(xiàn)，也就是我們永銘的話題：任何教育教學(xué)的改革與教育教學(xué)質(zhì)量的提升，都離不開(kāi)好教師，并且改革與質(zhì)量更能凸現(xiàn)卓越教師的教育良知.然而，今日“教授老板化”并不鮮見(jiàn)，其主要表現(xiàn)為：授課時(shí)間少，專注于學(xué)術(shù)與授業(yè)之外的名與利，撬動(dòng)教授們這樣遠(yuǎn)離課堂的表象因素似乎是利益驅(qū)動(dòng)，真正癥結(jié)則在于學(xué)術(shù)與教學(xué)評(píng)價(jià)機(jī)制的乏力，甚或出現(xiàn)了為贏得學(xué)生的評(píng)教高分，不惜以漏題、監(jiān)考不嚴(yán)等行為一味討好學(xué)生，謀取暫時(shí)的榮耀，倘以疲于“市場(chǎng)”行為的師者，去“前導(dǎo)”其學(xué)生，結(jié)果自然不敢讓人想象.難怪乎我們的學(xué)生參加“托福”、“雅思”等國(guó)際性考試，真是讓中國(guó)人的顏面丟到了世界上.目前有良知教師懷念那極其艱苦的抗戰(zhàn)時(shí)期的西南聯(lián)大，教授授業(yè)之法與授業(yè)之道，成為影響與決定學(xué)生最終學(xué)業(yè)水準(zhǔn)的重要條件，也正因教授們重視教授方法，才更加緬懷逝去的教授.他們頭頂日本鬼子飛機(jī)的狂轟濫炸，腳踩彈坑，一邊潛心專注于學(xué)術(shù)研究，一邊又以極為“樂(lè)觀”的姿態(tài)努力傳授學(xué)業(yè)，不也給千秋萬(wàn)世留下了聯(lián)大精神？

事實(shí)上，我們的數(shù)學(xué)教育教學(xué)存在著諸多功能性色彩、數(shù)學(xué)理性精神缺失與數(shù)學(xué)信仰危機(jī)，走上了考什么，就教什么的路子，將一個(gè)好端端的對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有興趣且有余力的學(xué)生參與的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，弄成了全民皆兵的撈錢工具，到了上上下下非批不可的令人痛心境地，缺失了為數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展而教學(xué)與研究的理性質(zhì)疑反思精神，導(dǎo)致大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)生源質(zhì)量下降，從而影響了數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)生的就業(yè)率，形成惡性循環(huán)，其癥結(jié)是：一則過(guò)多的功利主義與非理性思想影響了部分?jǐn)?shù)學(xué)教育工作者的價(jià)值觀取向，大大削弱了其學(xué)術(shù)自由與教學(xué)研究的執(zhí)著度.另則我們以形象工程與實(shí)用主義作為辦學(xué)理念的指導(dǎo)思想，值得深刻反思，也到了該理性反省之時(shí).鑒于此，本文將立足于最基本的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)民主化思想，以案例分析的形式為出發(fā)點(diǎn)探討數(shù)學(xué)教育民主化，實(shí)現(xiàn)盡可能多的學(xué)生享受到數(shù)學(xué)教育教學(xué)的幸福過(guò)程.

2.教學(xué)過(guò)程與教學(xué)策略

現(xiàn)以師范院校“初等數(shù)學(xué)研究”之“一元方程求解方法的研究”為教學(xué)案例，剖析創(chuàng)造性思維教學(xué)模式的過(guò)程.本案例雖略顯得有繁難之嫌，但對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性理解、研究問(wèn)題的基本方法和思維方式有一定的啟發(fā)性作用，而且能很好地提升分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力（如理性社會(huì)游戲規(guī)則的建立等）.

[趣味性開(kāi)場(chǎng)白]同學(xué)們是否知道“懶人的數(shù)學(xué)”？它就是代數(shù)學(xué).其實(shí)質(zhì)是由于用代數(shù)方法研究數(shù)學(xué)問(wèn)題或?qū)嶋H問(wèn)題簡(jiǎn)潔明了罷了.我們已經(jīng)知道通常意義下的代數(shù)學(xué)是將其理解為關(guān)于字母計(jì)算、關(guān)于由字母構(gòu)成的公式的變換以及求解代數(shù)方程等的科學(xué).

現(xiàn)在，我們就來(lái)共同探究“懶人”的代數(shù)方程求解吧！其實(shí)，它并不是“懶人”所做的.如意大利數(shù)學(xué)天才塔塔利亞（Tartaglin N.，約1499—1557）在1535年的一場(chǎng)數(shù)學(xué)擂臺(tái)賽中遇到了一個(gè)挑戰(zhàn)性問(wèn)題：“一塊藍(lán)寶石賣了500金幣，所得利潤(rùn)是其成本的立方根，求其利潤(rùn).” 塔塔利亞先設(shè)利潤(rùn)若為x金幣，則容易地建立了x所滿足的方程式為x3+x=500，且迅速求解并獲勝.他之所以能夠大獲全勝，是由于他以詩(shī)歌形式總結(jié)了上述缺二次項(xiàng)的三次方程求解的秘訣：“立方共諸物，和要寫右邊，巧設(shè)兩個(gè)數(shù)，差值同右和；此法要牢記，再定兩數(shù)積：諸物三之一，還把立方計(jì)；既知差與積，兩數(shù)算容易，復(fù)求立方根，相減題答畢.”難道這是“懶人”的數(shù)學(xué)嗎？

此外，還有很多豐富有趣的代數(shù)學(xué)發(fā)展故事，請(qǐng)同學(xué)們課外閱讀.

[展示研究課題] 你們肯定掌握了方程中最簡(jiǎn)單的一元一次方程，理解了方程理論是從兩個(gè)方面發(fā)展的，一是從一元發(fā)展到多元，二是從一次發(fā)展到高次，即方程分為：一元一次方程、一元n次方程、多元一次方程、多元高次方程.知道了所構(gòu)成的多元方程組也是通過(guò)各種消元方法化歸為一元方程求解的，即便是我們已經(jīng)掌握了的分式方程、無(wú)理方程、超越方程求解，也是常常將其化歸為代數(shù)方程求解的.由此可見(jiàn)，方程理論的基本問(wèn)題就是一元代數(shù)方程的求解.今天，我們不妨來(lái)研究探索一元代數(shù)方程的求解這個(gè)基本問(wèn)題，領(lǐng)悟所謂作為西方數(shù)學(xué)開(kāi)始領(lǐng)先于東方數(shù)學(xué)標(biāo)志性問(wèn)題——一元三次方程的求根公式，甚或更高次方程求解的研究.

[問(wèn)題的探究過(guò)程]同學(xué)們知道（注意整個(gè)教學(xué)過(guò)程是教師引導(dǎo)、啟發(fā)，師生共同探究的過(guò)程，但因篇幅所限，以下略去了啟發(fā)、探究等環(huán)節(jié)），（第1個(gè)問(wèn)題）一元一次方程ax+b=0（a≠0），可化為ax+ba=0.如果令x+ba=y，則上式可化為ay=0，由于a≠0，所以y=0，即x+ba=0，也就是x=-ba（注：這是另一種一元一次方程的求解方法）.

上面求解一次方程的方法可看作是作代換x=y-ba，目的是得到一個(gè)不含常數(shù)項(xiàng)的方程ay=0，這樣就可以由“若干個(gè)因式之積為零，其中至少有一個(gè)為零”而求得x的值.

（第2個(gè)問(wèn)題）我們?cè)賮?lái)看復(fù)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），兩邊同除以a得到同解方程x2+bax+ca=0，配方法有x+b2a2-b24a2-ca=0，很明顯，以上求解二次方程中所有的配方，可視為作代換x=y-b2a，得到了一個(gè)不含一次項(xiàng)的二次方程y2+p=0，可以通過(guò)開(kāi)平方求得y的值.自然地，也可把這個(gè)方程看作是把方程左邊的多項(xiàng)式y(tǒng)2+p進(jìn)行因式分解，從而將方程降次為一次方程來(lái)解.

所以，上述這種通過(guò)代換x=y-ba使一次原方程缺常數(shù)項(xiàng)（視為缺方程的第二項(xiàng)），通過(guò)代換x=y-b2a使二次方程缺一次項(xiàng)（同樣視為缺方程的第二項(xiàng)），從而把二次方程降次為一元方程來(lái)求解.

現(xiàn)在回到我們開(kāi)始所提出的課題——三次、四次方程甚至更高次方程，是否同樣可用代數(shù)方法給出優(yōu)美的求根公式呢？答案如何，我們來(lái)耐心作答吧！首先，我們有如下猜想：

猜想1 由一次、二次方程的代換形式可猜測(cè)三次方程可有代換式x=y-b3a（x視為未知數(shù)，b3a視為第二項(xiàng)系數(shù)與最高次數(shù)乘以其系數(shù)的商），目的是可能得到一個(gè)缺第二項(xiàng)的三次方程，再設(shè)法降次.

猜想2 由于一次方程的根是用一個(gè)有理式表示的（也可視為一次方根），二次方程的根是用一個(gè)平方根表示的，從而可猜測(cè)三次方程的根可用兩個(gè)立方根的和表示.

（第3個(gè)問(wèn)題）如果三次方程為ax3+bx2+cx+d=0（a≠0），兩邊同除以a得到通解方程x3+bax2+cax+da=0.用類比方法作代換x=y-b3a，可得到一個(gè)缺二次項(xiàng)的三次方程y3+py+q=0，其中p=-b23a2+ca，q=2b327a3-bc3a2+da.

這里類似于二次方程的根可用一個(gè)平方根表示，不妨設(shè)想缺二次項(xiàng)的三次方程的根同樣可用兩個(gè)立方根的和形式表示，即y=3u+3v，其中3u與3v分別表示u與v的一個(gè)立方根.反過(guò)來(lái)，對(duì)三次方程根的表示形式y(tǒng)=3u+3v兩邊同時(shí)立方并整體代入，再稍加整理即可得到y(tǒng)3-3（3u3v）x-（u+v）=0.這樣，比較該方程與缺二次項(xiàng)的三次方程可得其相應(yīng)的系數(shù)關(guān)系式3u3v=-p3與u+v=-q.若注意到uv=-p327，則自然構(gòu)造出一個(gè)以u(píng)，v為二次方程z2+qz-p327=0的兩根.

從而實(shí)現(xiàn)了三次方程降為二次方程，并容易求得z=-q2±q24+p327，這樣我們就立刻得到方程y3+py+q=0的求解公式y(tǒng)=u+v，其中u=3-q2+q24+p327，

v=3-q2-q24+p327.

又因?yàn)榱⒎礁趶?fù)數(shù)域有三個(gè)值，所以u(píng)與v各有三個(gè)值，對(duì)上式y(tǒng)就有可能出現(xiàn)9種組合形式.若我們注意到3u·3v=-p3，則實(shí)際上只存在三種組合形式成為方程的三個(gè)根.這也從另一方面驗(yàn)證了代數(shù)基本定理是成立的（有興趣的讀者可參考文獻(xiàn)[11]所提及的代數(shù)基本定理的各種證明）.

[誘導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究]我們?cè)谏厦娴挠懻撝校](méi)有具體給出缺二次項(xiàng)三次方程根的表達(dá)式.事實(shí)上（啟發(fā)、聯(lián)想過(guò)程較為困難，與數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題是一樣的），我們知道1的三個(gè)立方根分別為1，ω，ω2，這里ω=-12+32i，ω2=-12-32i，則由3u與3v分別是u與v的一個(gè)立方根知：u與v的另外兩個(gè)立方根分別為ω3u，ω23u與ω3v，ω23v.這樣，就得到了缺二次項(xiàng)三次方程的三個(gè)根分別為y1=3u+3v，y2=ω3u+ω23v，

y3=ω23u+ω3v（同時(shí)指出這種組合形式必須滿足u，v是二次方程z2+qz-p327=0的兩根，且3u·3v=-p3）.因此，由代換關(guān)系式x=y-b3a及p=-b23a2+ca，

q=2b327a3-bc3a2+da，得到一元三次方程的三個(gè)根用其系數(shù)表示的形式.

[反思過(guò)程]以上我們利用系數(shù)明顯地表示出了三次方程的三個(gè)根，并沒(méi)有像二次方程求根公式那樣優(yōu)美漂亮.因而，在實(shí)際求三次方程的根時(shí)，往往不是化歸為實(shí)數(shù)的開(kāi)立方，而是對(duì)復(fù)數(shù)開(kāi)立方，由此可見(jiàn)其在實(shí)際解題時(shí)的復(fù)雜性，所以實(shí)際解題時(shí)很少采用.（可提出：等待學(xué)生以后的深入學(xué)習(xí)將會(huì)有很多解決問(wèn)題的方法）

[批判性提出新問(wèn)題]上述雖然復(fù)雜繁難，但并不意味著問(wèn)題解決的思想方法不可取.若如此可取，則我們一個(gè)自然而然的問(wèn)題就是：一元四次方程的求解公式是否可采用上述思想方法得到呢？

[提出新問(wèn)題解決的思想方法]由一次、二次、三次方程的解決方法可猜測(cè)：（1）用代換關(guān)系式x=y-b4a，是否可得到一個(gè)同樣缺第二項(xiàng)的四次方程？（2）是否可用類比的方法設(shè)想四次方程的四個(gè)根是三個(gè)四次根式的和？開(kāi)四次方怎樣做？（3）如何實(shí)現(xiàn)降次為三次方程求解呢？并且指出：雖然問(wèn)題的解決過(guò)程，可能再出現(xiàn)新的問(wèn)題和困難之處，但方法總比困難多.

[繼續(xù)提出新問(wèn)題]是否受發(fā)現(xiàn)二次、三次、四次方程的求根公式的啟發(fā)，你是否在夢(mèng)想著甚至更高次方程的系數(shù)表達(dá)式呢？（在這里，如有興趣可帶有質(zhì)疑批判的理性精神去閱讀文獻(xiàn)[13]）

[再生成新的研究課題]我們?cè)鴮W(xué)習(xí)和討論過(guò)一元一次方程與一元函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，特別是較為系統(tǒng)地、深入地研究過(guò)二次方程和二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式、二次不等式之間的區(qū)別與內(nèi)在聯(lián)系，從而明白它們之間的有機(jī)聯(lián)系不再界限分明，知道了知識(shí)之間是完全可以對(duì)話的，同時(shí)在對(duì)話中可生成新的知識(shí)點(diǎn)和新的問(wèn)題.這樣，又極為自然地有以下合情合理的猜想：

猜想1 能否借助研究三次方程的方法討論三次函數(shù)的性質(zhì)？如對(duì)稱性問(wèn)題：是軸對(duì)稱還是中心對(duì)稱？是否為極值性問(wèn)題？

猜想2 能否借助研究四次方程的方法繼續(xù)討論四次函數(shù)的性質(zhì)？如對(duì)稱性問(wèn)題：是軸對(duì)稱還是中心對(duì)稱？能否以二次函數(shù)為鑒，自然猜測(cè)到成軸對(duì)稱圖像，但其充要條件是什么？

猜想3 有了三次、四次函數(shù)的一些性質(zhì)，能否繞開(kāi)討論研究五次方程的尷尬情形，另辟蹊徑地沿著三次、四次函數(shù)的研究方法討論五次函數(shù)的性質(zhì)呢？

猜想4 如果研究五次函數(shù)的性質(zhì)獲得成功，那么是否可以繼續(xù)研究一般高次函數(shù)的性質(zhì)？怎樣做？

[欣賞性] 我們雖然得到的結(jié)論并不算十分優(yōu)美，但很多數(shù)學(xué)美蘊(yùn)含其中，如自然美、復(fù)雜美、統(tǒng)一美、多樣美、演繹與歸納美、形式美、內(nèi)容美以及美的相對(duì)性與絕對(duì)性等.自然美才是真美，更令我們遐想無(wú)限.

[結(jié)束語(yǔ)] 如果我們能夠再進(jìn)一步思索的話，那么我們將會(huì)感悟到任何數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究都不會(huì)永遠(yuǎn)地結(jié)束！關(guān)于這一話題，因篇幅所限，我們將另文討論.

3.案例反思

（1）數(shù)學(xué)教育教學(xué)理應(yīng)成為融數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)文化與人文精神于一體，促使學(xué)生享受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，有種激情燃燒之感，使人感動(dòng)不已，由此感興趣，致其形成志趣.我們從代數(shù)方程解發(fā)展略史出發(fā)，著手于趣味性問(wèn)題的求解，感悟數(shù)學(xué)活力所在，從其解法的哲理性和新的思考方式，既享受到數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考樂(lè)趣和求解方法詩(shī)歌化的欣慰，又領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)思想方法的精髓所在，更能體悟到了數(shù)學(xué)作為一種文化的人文精神.

（2）數(shù)學(xué)教育教學(xué)過(guò)程不僅是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識(shí)的傳播與數(shù)學(xué)基本能力的培養(yǎng)，而且是數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的滲透與掌握，更重要的是經(jīng)歷數(shù)學(xué)修養(yǎng)的全面提升，形成平等、民主、尊重、討論、開(kāi)放、對(duì)話、關(guān)心、傾聽(tīng)、科學(xué)的社會(huì)生存制度，使得我們的社會(huì)公平、民主與包容，在此，借鑒美國(guó)加州理工學(xué)院校訓(xùn)“通過(guò)教學(xué)與科研相結(jié)合，擴(kuò)充人類知識(shí)和造福社會(huì)”來(lái)思考我們的數(shù)學(xué)教育民主化將十分有意義和有趣.

（3）數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程只有體現(xiàn)以人為本的教學(xué)風(fēng)格，體現(xiàn)著對(duì)所教育對(duì)象的理解與尊重，才能凸顯數(shù)學(xué)教育的民主化.教學(xué)過(guò)程時(shí)時(shí)設(shè)身處地地不斷反思，多為學(xué)生想想他們的思維受阻的原因，以條理清晰的邏輯思維方式使教學(xué)過(guò)程自然與簡(jiǎn)潔.如本案例從容易的一元一次與一元二次方程求解入手，分析其解法及根的表達(dá)形式，試著歸納猜測(cè)出合理的代換關(guān)系式，嘗試著一元三次方程求解方法的可行性，使學(xué)生從發(fā)現(xiàn)一種數(shù)學(xué)思想方法或優(yōu)美的數(shù)學(xué)論證中體會(huì)愉悅之情.

（4）在某種意義上講，數(shù)學(xué)教育教學(xué)過(guò)程是理論、經(jīng)驗(yàn)和反思的過(guò)程.事實(shí)上，反思往往被忽視，而且容易與批判性思維方式聯(lián)系在一起，因?yàn)橐惶岬脚行运季S方式，就談虎色變，似乎我們的所作所為都盡善盡美了，天下人的思維方式都是統(tǒng)一的.然而，無(wú)論何種方式、形式的反思或批判性思維，都能夠起到完善思考、溝通的作用.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程的反思或批判性思維方式或理性質(zhì)疑是必要與可行的，是永恒的話題.如我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中，卡當(dāng)求法或塔塔利亞求法之外，能否再反思一下，是否存在其他形式的三次方程或恒等式，自然地類比聯(lián)想到三角函數(shù)的正切三倍角公式、雙曲正切函數(shù)或雙曲余切函數(shù)的三倍角公式.想一想，做一做，可否再給出一元三次方程的另一種新解法呢？

（5）作為數(shù)學(xué)教育工作者的我們，完全有信心和有能力能夠使我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有更多的激情和活力，從而使學(xué)生能夠享受到數(shù)學(xué)活動(dòng)的快樂(lè)，如在教學(xué)過(guò)程中，恰如其分地講述一些數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)成果的軼聞趣事與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的艱辛過(guò)程.

（6）之所以我們成為數(shù)學(xué)教師，是由于我們用數(shù)學(xué)理論知識(shí)來(lái)充實(shí)自己，用民主理念來(lái)支撐我們的數(shù)學(xué)課堂，不僅要在專業(yè)上是行家，還需通曉育人的藝術(shù)，而且更重要的是體現(xiàn)在記錄自己的教學(xué)行為，觀察自己的行為結(jié)果，反思自己的課程經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步改進(jìn)自己的教學(xué)方法，遠(yuǎn)離浮躁，恪盡職守，矢志不渝，終生精益求精于自己的教育事業(yè)，由此而產(chǎn)生與分享到數(shù)學(xué)教育教學(xué)的幸福.

（7）秉承數(shù)學(xué)課堂教學(xué)民主化與效率思想的信念，不斷總結(jié)與改進(jìn)自己的創(chuàng)造性教學(xué)模式：“問(wèn)題導(dǎo)入的趣味性——知識(shí)生成的自然性——思考探究的獨(dú)立性——思考方法的理解性——討論空間的自由性——學(xué)習(xí)過(guò)程的自明性——質(zhì)疑反思的批判性——深度探究的廣闊性——優(yōu)美結(jié)論的欣賞性”，有模式，但不拘于模式，最終走向無(wú)模式的自由教學(xué)之境界.

（8）我們承認(rèn)，數(shù)學(xué)問(wèn)題（特別是世界性難題）有難易之別，面對(duì)數(shù)學(xué)難題猶如一座高天入云的珠穆朗瑪峰，一般不必要企圖去征服它，但是，坐上飛機(jī)加之遇上晴空萬(wàn)里無(wú)云的朗朗天空，遠(yuǎn)遠(yuǎn)地瞥上一眼它那冰雪覆蓋的美麗的山巔，不也是挺好挺美的？

（9）本案例雖然是基于非常美好的想法——數(shù)學(xué)的學(xué)、用、教、研的學(xué)習(xí)與探究——而言的，但是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與活動(dòng)完全可以從自己已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)知識(shí)起點(diǎn)，相應(yīng)地學(xué)到最基本的數(shù)學(xué)理論與思想方法，由此產(chǎn)生理性化的思維方式，以質(zhì)疑批判性與寬松自由性的學(xué)習(xí)氛圍，形成民主化與理性化的社會(huì).特別是我們數(shù)學(xué)教育工作者，更應(yīng)以提升自我教育形態(tài)與學(xué)術(shù)形態(tài)相互轉(zhuǎn)化的教育理念，促進(jìn)我們的數(shù)學(xué)理解性教學(xué)， 這樣，不僅使自己享受數(shù)學(xué)教育的理性過(guò)程與精神愉悅，而且使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中分享到無(wú)與倫比的快樂(lè).

4.結(jié) 語(yǔ)

數(shù)學(xué)教育教學(xué)質(zhì)量并非一朝一夕、開(kāi)幾個(gè)會(huì)、發(fā)幾份文件所能提升的，而是由教師良知所致.一方面，源于寬松的民主化管理環(huán)境，另一方面源于教師的自由思想獨(dú)立精神之境界，盡力所能及的兼入世出世心態(tài)專致力于自己的理想化職業(yè)，從數(shù)學(xué)教育教學(xué)的教學(xué)模式走向自由的創(chuàng)新性無(wú)模式天空，完成自己的神圣使命.