對數學專業代數幾何課程的一點思考

本文得到校級教改課題一般項目資助，基金號為JGY1350.

【摘要】本文針對我校數學專業代數與幾何課程的教學作了探討，分析了學生考試不及格率偏高的原因，從教學理念、教學內容以及教學的各個環節進行深入的研究和分析， 就如何搞好課堂教學改革，使抽象的代數概念能讓學生易懂好學，提高考試成績，實現現代教育目標進行一些探討與實踐.

【關鍵詞】代數；抽象；教學；思想；方法

作為大一新生的數學專業基礎課——高等代數，在培養學生嚴謹的思想方法、抽象思維能力、邏輯推理能力方面具有其他學科不能替代的作用.該課程最顯著的特點就是概念多，內容抽象.在教學過程中， 學生普遍存在學習興趣不濃、聽課不積極、作業思路不清晰、考試不及格率偏高的現象.對老師來講，上課很被動.而對于解析幾何，該課程是在中學平面解析幾何和立體幾何基礎上的提高，所以學生有了中學時期的直觀認識，理解起空間的曲線曲面就不是難事了.

從20世紀80年代至今，國內外學者針對代數與幾何課程進行著探索與實踐：著名數學家陳省身實施高等代數與解析幾何融合.李尚志教授認為代數幾何熔一爐，也就是說幾何給代數提供了模型，代數給幾何提供了方法.所以很多高校都在嘗試將這兩門課合二為一，將抽象的代數知識與直觀的幾何問題緊密聯系起來教學.我們已經在這方面作了嘗試，但仍有些環節需要繼續探討完善.

本文立足于從教學理念、教學內容以及教學的各個環節進行深入的研究和分析， 就如何搞好課堂教學改革，使抽象的代數概念能讓大一新生易懂好學，提高考試成績，實現現代教育目標進行一些探討與實踐.

一、注重代數學概念的發展史，讓學生從整體上對代數有個初步的認識

由于教學安排的特殊性，我們將原本三個學期的課時壓縮到一年完成，每節課講授內容很多，學生接受得慢，導致很多學生整本書學完不知道為什么要開設該課程.所以，在新學期的第一節課，我都不會涉及數學課本里的知識，而是給學生講數學家的生平故事，講代數發展史，這樣讓學生知道代數是什么，他們也會從中受到感染，知道數學的重要性以及數學的樂趣所在，下次課學生還會盼著聽故事.從第二節課開始，我會在講新的知識前搜集關于這部分內容的一些有趣的人和事（包括自己當年學習的趣事）來和學生一起分享，先把學生的情緒帶動起來再講課，效果很好.所以在教學中應該秉承這樣的觀念：更多地摻和一些數學發展史在教學中，這樣既能激發起學生學習的熱情，又能讓他們更多地了解數學的思想方法.

二、強調知識點之間的連貫性，教學內容的緊湊性

為了節省課堂教學時間，我們可以把聯系比較緊密的內容合起來講.如：關于二次型化為標準型這部分內容，可以結合幾何部分關于二次曲線的一般理論部分介紹給學生一個直觀的認識，也讓學生知道二次型最初就是為了解決幾何問題而產生的.再如：在介紹有限維線性空間時可結合有限維向量空間，在給定一組基后將一般線性空間的線性相關性通過向量之間的線性表示直觀反映出來，所以只需要將向量空間的結構理解了，那么一般域上的有限維線性空間理解起來就不費力了.對于教學內容，我們要系統地設計整門課程的教學計劃，重點是哪些，難點又是哪些，整個教案呈現出來要具有完整性，體現一個循序漸進的過程，就像看電視劇一樣.學生在學習的過程中可以脫離自己的課本直接看自己的聽課筆記，掌握所學內容.

三、教學過程中加強對代數學基本方法的認識和訓練，激發學生學習的興趣

在實際教學中，我們會遇到這樣的問題：很多學生在課堂上能聽懂，解題方法看似也掌握了，但是課后的作業不會做.我們不希望學生成為解題的機器，但也不希望學生不會解題.實際上這些學生并沒有真正掌握解題的關鍵，再者，現在的學生學習熱情呈現多元化，再加上財經類院校一半以上的學生都是文科出生，邏輯思維稍微差一些，有些學生對數學明顯不感興趣.時間不允許我們在黑板上一遍又一遍地演練同樣類型的題目，所以在課程設計中加入一些具有實際應用背景的知識與例題，學生更容易理解.例如：在講述不變子空間時，我們可以舉例說明，如空間直角坐標系繞著某一個坐標軸旋轉（一種特殊的線性變換），可以形象地比喻成跳鋼管舞，這根鋼管（旋轉坐標軸）可以看成一維的線性子空間，與之垂直的坐標平面看成二維的線性子空間，這兩個子空間上的向量不論怎么旋轉，仍然在這兩個子空間上，從而這兩個子空間在旋轉變換下為不變子空間.大學階段要培養學生探索創新的精神，這不僅體現在課堂上，更多地體現在課后學生的實踐.在實際教學中，嘗試著每周騰出一節課來，讓學生到講臺前講述本周所學的知識（自己對這部分知識的理解），老師在講臺下給予鼓勵和適當的糾正，我相信一定程度上可以激起學生上課的熱情，聽課的效率也會大大提高.當然，要將代數與幾何這兩門課程以每周6課時的速度一學年講完，勢必會對內容作取舍.對于財經類院校數學系學生，可以將λ-矩陣以及線性變換、雙線性函數部分內容舍去，到了大三再講解.對于一些接受能力稍弱的學生，可以運用現代教學手段，進行網絡補充教學，這樣可以滿足各個層次學生的需要，也可以讓老師全面了解學生的學習情況.經過一學期的探索教學，學生期末考試不及格率有所下降，學生普遍能夠接受這種教學進度的安排.

最后，借用中科院研究員吉敏的話來結尾：數學有點像藝術，你要是喜歡它你就會覺得它挺有趣的，很有吸引力，很美.但你如果不喜歡它呢，就會覺得它很枯燥、很難、很艱澀無味.代數作為數學的一個分支，也是一樣，只有讓學生對這門課感興趣了，他們才會有動力主動去學習去鉆研，才會得到理想的教學效果.

【參考文獻】

[1]方延明.數學文化導論[M].南京：南京大學出版社，1999.

[2]張順燕.數學的思想、方法和應用[M].北京：北京大學出版社，1997.

[3]李尚志.讓抽象變得自然——建設國家精品課程的體會[J].中國大學教學，2006（7）：11-13.