高等數學重積分教學與學習

【摘要】二重積分是歷年來考研的必考題，二重積分出題角度很多；三重積分內容豐富，計算量大，難度不小，區分度很高，難度大，所以作為初學者在這一塊不知道如何學習，學習起來也比較吃力，也比較難理解.為了讓學生更好地學好這門基礎課程，很多著名學者早已開始了專門針對高校新生如何學習二重積分和三重積分的研究.本文主要針對教師如何教授重積分與學生如何學習重積分進行論述，希望能進一步提高高校學生對高數學習的積極性與教師對重積分教學方式的轉變.

【關鍵詞】二重積分；三重積分；曲面積分；曲線積分；高等數學；教學方式

在說主題之前先說說二重積分與三重積分的重要性.二重積分與三重積分是歷年考研中必考題，二重積分一般會考一個大題與一個小題，而三重積分，近年來以考4分小題為主，區分度很高，難度也不小.二重積分在計算過程中細節不少，出題角度也很多，命題人常在二重積分處出了不少精彩的題目.

總結一句話，二重積分在計算思路上不難，計算上就不容易了.而且高數作為理工科學生的必修基礎課，是一門工具課，如果可以很好地學好高數，那么將來無論考研還是修專業課，都是很容易的.但是，筆者通過調查發現，很多高數初學者雖然擁有強烈學業成功的欲望，但是缺乏對高數的認識以及缺乏對重積分的學習方法，并且老師對這一塊也不知道如何教授.那么到底初學者應該如何學習重積分，教學者如何教授重積分呢？筆者從兩個方面論述.

一、轉換授課方式

先從教學者的角度來看二重積分與三重積分.由于二重積分與三重積分抽象，再加上課堂上很少有老師用三維動畫教學，只是干巴巴地在黑板上羅列課本上的知識與圖解，結果是經常會出現教師在課堂上講得熱血沸騰，講得很精彩，但學生們聽得朦朦朧朧，一知半解.

由于高數課時短，課程量大，難度大，老師也很少有機會講課后題去鞏固學生學到的知識.如果是自覺性不高的學生，以后學曲線積分或者曲面積分必定出問題；如果是自覺性比較好的學生，上課認真聽，就算沒上課沒聽懂，課后復習，做練習題，不放過每一道題，二重積分、三重積分也會學得很不錯的，以后無論學一類曲線積分、曲面積分，還是二類曲線積分、曲面積分，都可以游刃有余.但是這樣的學生只會做題，而未能理解二重積分與三重積分概念定理.

而且人的記憶是不停地遺忘的，只會做題不會用在以后工作和別的學科是很可怕的.因為高數是一門工具課.而且這種學生在復習時經常是事倍功半，導致期末考試成績也不是很理想.所以要重視課堂上學生對定理與基本概念的理解與學習，還有老師在教學過程中解釋概念定理的技巧與方法.只有理解定理概念才能學習到重積分的精華、核心與思想.不是為了考試做題而學習而是為了學習一種思想.

如何可以把這種思想傳遞給學生呢？這就要考驗老師創意教學到底如何了.比如實體模型或者3D視圖.這樣可以更直觀地讓學生學習與記憶.

再說定理概念理解后是很難遺忘的，只要讓學生理解概念與定義，在以后生活或者別的學科中，都可以把問題轉化為數學問題，將問題轉化到例題中（例題是定理的體現），然后轉化到概念定理，這樣教學效果也許會更好.

二、學習者應該構建知識網架

現在來說說學習者如何學習二重積分與三重積分.無論學習哪一方面知識，在了解這類知識之前，不應該只是讓學生從基礎學，應該讓學生看到這一塊的知識體系，整個知識構架，然后一點點逐步深入地去學.

比如說學二重積分基礎性計算分為直角坐標系與極坐標系.技術性計算用到對稱性、心形公式與交換積分次序，然后引出格林公式.第二類曲線積分可以化為二重積分.然后通過第一類曲線積分與第二類曲線積分聯系，將二重積分與曲線積分聯系起來.這樣對一個初學者來說效果也許會更好.建立好知識網架再去逐步學習，一定是事半功倍.

此兩個公式將第一類曲面積分和第二類曲面積分與三重積分聯系在一起.三重積分和二重積分最終化為一次積分.這就是高等數學積分這里學習方法與教學方法.

三、結 語

總而言之，高數學習是一個比較辛苦的過程，不是一蹴而就的，具體實施的時候我們需要考慮很多因素，但是這些因素中無不充滿著對高數學習以及對重積分學習的阻礙.我相信，在社會各界的努力之下，我們的高數初學者一定會盡快科學建立起自己的高數學習規劃，為自己更為祖國美好的未來貢獻自己的力量.

【參考文獻】

（1）（2）（3）（4）公式摘自《大學高等數學公式定理大全》