關于高等數學中的反例教學研究

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【摘要】反例教學，是新時期下高等數學中較為常見的一種教學模式.本文通過結合高等數學中反例教學的相關知識點，詳細介紹了反例教學在高等數學教學過程中的重要意義，以及反例教學在高等數學教學過程中，需要引起教師關注的一些注意事項，并在此基礎上，結合反例教學在高等數學中的一些實例展開進行分析和探究，以期能夠給予廣大從事高等數學教學工作的教師及人員一些參考和幫助.

【關鍵詞】高等數學；反例教學；教學模式；注意事項；分析和探究

一、引 言

新形勢下，隨著高等教育的不斷改革和發展，如何采取恰當的教學模式以保證教學工作的高效完成，越來越受到人們的普遍關注和重視.從目前來看，高等數學作為一門重要的公共基礎理論學科，普遍存在著學生概念理解不清、推理缺少依據、解題方法有誤等諸多現象，不但影響了高等數學的教學進度，以及教學質量的提高，同時，也不利于學生對高等數學知識的掌握和創造性思維的培養.為此，加強反例教學在高等數學教學過程中應用的研究工作，有著極為重要的作用.通過在高等數學的教學過程中采用反例教學的新模式，不僅是新時期高等教育的需要，也是提高教學質量和鍛煉學生嚴謹的思維能力的重要途徑.本文就高等數學中反例教學涉及的一些理論知識和應用情況進行探討，現具體分析如下.

二、高等數學中反例教學的重要性

（一）準確理解高等數學基本概念的保障

一般來說，高等數學的概念都較為抽象、復雜，導致學生在學習時比較難掌握，尤其是傳統的高等數學教學模式是以正面教學進行的，很大程度上增加了學生掌握高等數學知識的難度，甚至會給部分學生造成學習壓力.新時期下，隨著反例教學在在高等數學中的提出，相對來說更能夠幫助學生掌握超出自己理解能力的知識難點重點，為教師的教學工作開展提供了重要保障.在講解基本概念的過程中，引入一些不符合概念要求的反例，讓學生初步形成對概念的錯誤理解，再結合正面實例，幫助學生樹立正確的觀念，由此產生強烈的正反對比，讓學生更為深刻地掌握和理解高等數學的基本概念.

（二）激發學生學習高等數學的信心及興趣

眾所周知，高等數學的純理論知識一般都較為枯燥乏味，致使大多數學生在面對數學問題時，特別是難度和復雜度相對較大的題型，常常會失去解答下去的耐心和信心，反而采取逃避、抵抗的心理來對待這些難題.一方面，會導致學生對高等數學的學習熱情不高，影響學生數學成績；另一方面，也會影響教師的教學效果.在高等數學中適當地使用一些反例材料進行教學，并結合師生互動，鼓舞、激勵學生對更深層次的知識的探索，對于激發學生學習的熱情，提高學生學習高等數學的信心和興趣，有著極為重要的促進作用.

（三）有助于培養學生嚴謹科學的思維

在以往的教學工作中，教師通常是將教學重點放在傳授理論知識上，而忽視了對學生的思維能力的鍛煉.這種教學方式在一定程度上雖然能夠起到傳授知識的目的，但對于學生深刻掌握和理解高等數學并沒有幫助，甚至還會因為學生的思維能力得不到鍛煉，學生無法形成科學嚴謹的思維看待問題，導致學生在學習過程中頻繁出錯，不利于學生的綜合能力的提高.通過在高等數學的教學過程中構建恰到好處的反例，可以讓學生根據題型進行逆向思考，提供鍛煉學生抽象思維能力的機會.在學生解答反例材料時，往往需要回顧和搜集更多的數學知識對問題加以分析，一定程度上擴寬了學生的知識面，同時，經過反復研究題意，也助于加深學生對知識的理解，進而對學生養成嚴謹科學的邏輯思維思考問題的習慣，同樣具有重要意義.

（四）有效鍛煉學生創新能力的重要途徑

與此同時，在高等數學的反例教學中，一方面，通過讓學生自主構建反例問題，由于沒有清晰可循的邏輯途徑，需要學生充分發揮想象和聯想，從不同角度出發思考問題的構建，另一方面，對于反例問題的解答，需要學生進行開放性的思考，不僅要從正面思考反例問題，同時，還需要逆向的對反例問題進行推敲解答，從反例問題的反面角度出發，列舉一些不符合反例問題定理的條件及例子，從而為進一步解決反例材料提供可能，為學生養成用新思路、新方法解決高等數學難題的習慣，有一定的推動作用.此外，教師在講解高等數學的定理或其他理論知識時，通過這種制造假象的方式，讓學生透過復雜的反例材料，看到問題的本質，并運用多種方法加以證實，還可以鍛煉學生在解答高等數學和其他學科，以及生活過程中的一些問題的質疑和探索精神，實現對學生創造力和想象力的有效鍛煉和提高.

三、高等數學中反例教學應該注意的問題

（一）在反例教學中，要做到適當、科學引用反例材料

在高等數學實行反例教學的過程當中，為避免所選用的反例材料偏離教學內容，或是反例材料難度較大反而增加學生學習負擔的負面效果，教師應當緊密結合高等數學的教學內容，并要重視考慮學生的生理和心理承受能力、掌握知識的具體情況等，再從所選反例材料的可行性和合理性方面進行考慮，最大限度做到適當、科學引用反例材料.此外，在高等數學中應用反例材料，還需要考慮到教學任務的安排、所教的數學內容是否適合進行反例教學、是否有必要進行反例教學等，需要在時間、條件允許的情況下進行，以免耽誤正常的高等數學教學工作.而且，在反例教學的實際應用過程中，必須根據學生的總體認知水平及掌握新知識的能力水平，由淺入深，循序漸進，將復雜的反例材料分成若干個小問題，讓學生逐個擊破.

（二）重視反例材料的針對性、準確性

為了確保反例教學在高等數學的教學過程中達到預期目標及效果，在構建反例問題時，必須做到針對性和準確性.在此階段中，要求教師具備一定的判斷能力，以免教師或學生構建出來的反例問題不夠準確、針對性不強等.對于構建與重點知識密切相關的反例材料，教師應該在考慮各種教學因素的前提下，全方位、多角度進行分析和判斷反例材料的準確性、針對性和價值意義.尤其是對學生構建出來的五花八門的反例，更要求教師能夠準確作出判斷和權衡.

（三）重視調動學生對反例材料的討論熱情，做到師生共同探究

反例教學的目的，關鍵在于幫助學生形成正確的認識和理解.為了實現這一教學目的，教師應該充分調動學生對反例材料的討論熱情，做到師生互動.同時，還要求教師根據學生的發言情況，通過適當的啟發及點撥等指導方式，讓學生通過自己的努力得出正確的結論.為此，當學生在錯誤理解題意時，教師應該在尊重學生的基礎上，及時幫助學生認識到自己所犯的錯誤，并通過給予學生適當的鼓舞、激勵，調動學生的討論熱情，引導學生自主分析并找出理解錯誤的原因，通過歸納總結來鞏固高等數學知識.

（四）教師應充分積極引導學生構建反例

教師構建反例材料，是高等數學教學必不可少的環節.不過，教師還應該重視引導學生對反例問題的構建，以此來鍛煉學生的想象力和創造性思維，提高學生的學習興趣和自主學習能力.一般教師可以選擇一些典型的理論知識，引導學生構建反例，讓學生在此過程中學習自主搜集知識、思考以及討論.

四、高等數學中反例教學實例分析

（一）反例教學在學習高等數學抽象概念的實例分析

例如，在學習“若函數在某點的左右導數均存在，那么函數在該點的導數一定存在；若函數在某點導數不存在，那么函數在該點不連續”的概念時，可以構建反例如下：

假設函數f（x）=|x|在x=0的左右均存在，但在該點的導數則不存在，在該點函數不連續.

的左右側導數均存在，而且相等.由此可知函數f（x）=|x|在x=0導數不存在，不過在該點上連續.

由此可以幫助學生在導數定義、左右導數定義以及可導性與連續性的關系等知識上加深理解，準確把握高等數學的抽象基礎概念知識.

（二）反例教學在培養學生創新能力的實例分析

例如在學習羅爾定理時，教師可以通過構建反例“分別舉例說明羅爾定理中函數的連續條件、可導性條件以及將閉區間上的連續更改為開區間上連續、可導等情況下，結論是否成立”，以此來強調羅爾定理的三個條件缺一不可.

通過學生自主尋找答案，舉例說明，能夠讓學生充分發揮想象和聯想，對問題進行開放性思考，從而鍛煉學生的創新能力.

五、結束語

本文通過結合反例教學在高等數學中的重要作用，及其在教學時所需要考慮的幾點注意事項，同時結合相關的反例教學實例展開討論，加深人們對反例教學的認識和理解，而且一定程度上促進反例教學在高等數學中的應用和推廣.