析高考幾何，提幾點思考

【摘要】2013年各省市數(shù)學文科高考中的立體幾何考題具有以下特點：沒有繁雜的邏輯推理，以體積度量為考查重點，空間向量不再是解決立體幾何問題的“萬金油”，動手操作成亮點.教學中就應(yīng)該思考“如何處理知識掌握與提升能力的關(guān)系”、“如何處理綜合方法與向量方法之間的關(guān)系”等問題.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學高考；立體幾何

高考是對教育教學成果的一種檢測與評價，反過來說，它也是對教與學的向?qū)c指引.不可否認，雖然新課標中明確指出各章各節(jié)的教學目標和教學要求，但應(yīng)該如何去把握“了解、理解、掌握”的“度”，或許只有靠老師自己去解讀.而在這個過程中，最好的“參考書”就是高考，可以說它是解決老師們教學中的諸多疑惑的一條有力途徑.因此，解析高考考題，對接下來的教學工作有著重要的意義.

立體幾何是高中階段數(shù)學課程的重點內(nèi)容之一，它的教與學一直備受關(guān)注.針對于文科學生的立體幾何教學老師們常常會提出一些疑問，我們不妨將視線聚焦在今年的各地文科立體幾何考題上，對其略作分析，以期為一線教師的教學提供一些參考.

一、考題特點解析

1.沒有繁雜的邏輯推理

今年文科立體幾何試題大致可以分為兩方面的考查：邏輯推理與度量計算.整體來說比較平穩(wěn)，沒有出現(xiàn)極易或極難的題目.大多省市均是將第一小問作為邏輯推理能力的考查，并集中在線面平行關(guān)系和線面垂直關(guān)系的證明上.處理線面平行，不外乎以線線平行和面面平行為踏板.縱觀今年考題，可以說運用面面平行“一招”便可“制勝”.如新課標Ⅱ卷的第一小問，要使得BC1∥平面A1CD，最直接的想法應(yīng)該是在平面A1CD內(nèi)找出一條直線使其與BC1平行，而事實上，我們根據(jù)題中的已知條件和圖形特征，作出一個過直線BC1且與平面A1CD平行的平面更加容易，其說理過程只需幾步便可完成.同樣的，山東卷的第一問、廣東A卷的第一問、福建卷的第二問等諸多涉及線面垂直的考題，均可用此方法求解，并且思維方式簡單，過程簡潔.在垂直關(guān)系的考查中，雖然有的結(jié)論是落實在線線垂直或面面垂直上，但其中最實質(zhì)性的環(huán)節(jié)還是無一例外地放在線面垂直關(guān)系上.如新課標Ⅰ卷的第一小問，結(jié)論需證AB⊥A1C，要驗證異面直線的垂直關(guān)系，通常需將其中一條直線放入某個平面內(nèi).根據(jù)已知條件的提示，AB上的中線即為高線，∠BAA1=60°，如若放在一個三角形里，很容易構(gòu)造出一個為90°的角.綜上，取AB中點D，連接CD，A1D，這樣A1C就放在平面A1CD中，且易證AB與該平面垂直，從而得出線線垂直.又如山東卷的第二問中，面面垂直的核心是線面垂直，位于平面GEF內(nèi)的直線EF垂直于四棱錐的底面，該底面又與平面MNE平行，EF與平面MNE垂直，從而平面GEF與面MNE垂直.只要涉及垂直問題，緊抓線面垂直，便可橫掃障礙.

2.以體積度量為考查重點

在以往的高考中，立體幾何通常是用“求二面角”來提升試題難度，從而為學生設(shè)置障礙的.但在今年的考題中，各省市均將體積度量放在最后一問作為考查重點.求二面角通常是讓學生感到非常頭疼的事，其中作出二面角的平面角為解題關(guān)鍵，這往往需要經(jīng)驗的積累和偶然一現(xiàn)的靈光，所需的技巧性較強.把題目條件稍作改動，解題方式或許就會發(fā)生很大的變化.學生面對這類題似乎比較恐懼，直到空間向量的出現(xiàn)，這個問題才有所緩解.今年各省市都像是商量好了的一般，避開了讓學生頭疼的二面角，齊刷刷地用體積計算來挑戰(zhàn)立體幾何的難度，這應(yīng)該正是考慮到文科立體幾何已沒有空間向量作為輔助.求三棱柱、三棱錐的體積，重點在于找底面積和底面所對的高.新課標Ⅰ卷是將難點設(shè)在找“高”上，湖南卷將解題的關(guān)鍵放在異面直線所成角的使用上，四川卷、福建卷的考點則在于等積轉(zhuǎn)化的思想意識上.雖然江西卷所求為點到直線的距離，但這類問題最經(jīng)典的做法就是以體積為橋梁，利用等積轉(zhuǎn)化的方法求高，從而達到求距離的目的.

3.空間向量不再是解決立體幾何問題的“萬金油”

空間向量集代數(shù)與幾何于一身的特征，它的出現(xiàn)可以將立體幾何中基本元素間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，能夠讓需要推理證明的結(jié)論用數(shù)量運算來取代.為學生在處理空間角和距離等問題上，提供了新視角，增加了可操作性，并容易掌握和接受.空間向量在一定程度上能夠降低立體幾何的難度，在以往的高考立體幾何試題中，多以正棱錐、正棱柱為載體，幾乎所有題目都能用向量法解決.這或多或少會給老師傳達一個信息：向量法是解決立體幾何問題的“通法”，同時也會在教學中讓學生產(chǎn)生一個觀念：向量法就是“萬能”法.今年的四川卷告訴我們：只有永恒的解題能力，沒有不變的解題方法，向量法在很多地方都行之有效，但絕 不可在教學中神話其解題功能.雖然該題給出的是一個直棱柱，建立直角坐標系非常方便，但由于Q點具體位置不能確定，在寫Q點坐標時會出現(xiàn)兩個未知常數(shù)，為后面計算法向量以及點到平面的距離造成很大的困擾，非但沒起到化抽象為具體、化繁為簡的效果，反倒增加了計算量，增加了題目難度.對于該題，一旦發(fā)現(xiàn)錐體底面面積無法確定，會立馬想到換底換高，只需思考方式稍作轉(zhuǎn)化，解答本題也是輕而易舉的.

4.動手操作成亮點

立體幾何的研究通常是在直觀感知的基礎(chǔ)之上進行操作確認，在有了動手操作的前提下，一系列思辨論證、邏輯推理才有順利進行的支撐.可見，動手操作是立體幾何學習中非常重要的一環(huán).新教材中，新增三視圖、直觀圖的內(nèi)容，讓學生的思維自然活躍在空間與平面之間，很好地訓練了他們的空間思維能力、想象能力.這個過程中，動手操作是關(guān)鍵.今年的考題，體現(xiàn)了對該能力的考查，也打破了立體幾何試題的傳統(tǒng)形象.比如福建卷就將三視圖的考查融立體幾何于一體，不再是簡單地從備選答案中進行選擇，而是真正地從立體圖形中抽象出并作出平面圖形，各邊的長度及比例都必須嚴格考慮.類似的，在四川卷的第一問中，不僅僅拘泥于通常的平行、垂直關(guān)系的論證，而是要動手操作去找出滿足條件的直線，在傳統(tǒng)考法上強調(diào)動手操作，同時對空間想象、動手操作、思辨論證三大能力提出要求.

二、幾點思考

縱觀2013年數(shù)學文科高考中立體幾何考題，難度均相當且較適中；忠實教材，回歸課堂；重能力的考查而非表面形式的復(fù)雜，由此，立體幾何的教學應(yīng)該思考以下問題：

1.如何處理知識掌握與能力提升的關(guān)系

新教材中刪除了以前常用常考的三垂線定理，直線與平面平行、垂直的判定定理的證明過程也未在文科生的教學范圍內(nèi)給出，對于文科生推理證明的要求降低了？沒有了空間向量的立體幾何，嚴格按照公理化方式推理說明，證明要求提高了？老師們有各自的見解.當老師們還在為不知道該把文科立體幾何題目難度拓展到哪種程度而犯愁時，今年的高考題似乎讓我們看到，學生能力的培養(yǎng)更值得我們關(guān)注.立體幾何的確需要發(fā)展學生直觀感知能力、操作確認能力、思辨論證能力和度量計算能力，但三視圖、直觀圖空間思維能力的發(fā)展，建立在直觀感知、動手操作基礎(chǔ)上的合情推理能力，在解題時懂得正難則反、靈活轉(zhuǎn)化的能力等，也是在教學中不能忽視的.在新課的教學中，在課外練習擴充時，就應(yīng)該用是否是以培養(yǎng)學生的能力為目的來評價教師的教學.不要以為，讓學生動手制作模型會浪費時間，這個過程讓他們的思維空間空前釋放，小組合作分工明確，動手操作樂趣橫生，它所帶來的效益可能是無法等值替換的.不要認為，讓學生接觸更多的題目，他們的解題能力就會更強.要教會他們的是方法，是思路，是解題策略.我想，一題多解是個不錯的選擇.

2.如何處理證明中的綜合法與向量法之間的關(guān)系

空間向量為現(xiàn)代立體幾何的發(fā)展有卓越貢獻，它為解決立體幾何問題打開了方便之門.新教材中，文科立體幾何不涉及空間向量，無法用向量法求解，老師們該不該向?qū)W生進行補充呢？為此，我專門做了一個問卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)幾乎所有的老師都認為空間向量是解決立體幾何問題的有力工具，并有超過半數(shù)的老師會在教學中向文科學生補充空間向量知識.向量解題有其獨特優(yōu)勢，但也不是萬能的.有了向量法作支撐，就像是多了一道有力的保障，因此對其進行補充也不無道理.但要注意的是，不能“神化”空間向量的功能，它是一種手段，一種方法.我們要做的是讓學生在遇到問題時，能夠有效地選擇較簡便的方法來解答，而不是一味地認為向量法或是綜合法更優(yōu)越.這樣才不會因為有了空間向量，使得立體幾何教學變得本末倒置.

【參考文獻】

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