高職數學教學中“題記”的功能與實踐

【摘要】題記是能夠讓學生積極組織學習，并因此而積極參與學習過程的一種行之有效的方法.題記應該設計成學習者的認知挑戰，以引發學習者的興趣，促進他們獲取知識、發展有效地解決問題和高級思維技能.題記有正解題記、錯解題記、正誤辨析、解題評注等.通過對高職數學教學的實際工作經驗，總結了教學中“題記”的功能與具體實踐方法，收到了事半功倍的效果，并提高了學生的學習興趣和學習效率，也大大地提高了教學質量.

【關鍵詞】高職數學；題記；實踐

一、題記背景

早在2002年國務院就召開了全國職業教育工作會議，會議指出要努力擴大職業教育規模，大力發展農村勞動力技能培訓，提高農村勞動力整體素質，所以職校入學變得沒有門檻了，由此職校學生學習素質之差是可想而知的.2012年秋季對我校618名高職新生進行了數學學習情感特點的問卷調查，結果有75.1%的學生表現為討厭數學，有13.7%的同學甚至表現為憤怒.面對如此的學生，即使再怎么樣地降低教學目標，也是枉然.以至于職高數學課堂啟而不發，自啟自發現象成了一種普遍的課堂現象.“沒有教不好的學生”給教師帶來更多的壓力與震撼.捫心自問：“既然沒有教不好的學生，那么這些學生數學成績差，不學數學，肯定是我的責任.”尋思：創設怎樣的課堂才能讓學生輕松、樂意地參與數學課堂學習呢？建構自主的認知是以情感為動力，由學習者主動建構的，是情感與認知的融合.那么尋找有效的“寫好題記”是使學生對數學學習產生興趣的首要任務.

二、題記方法

（一）錯解題記——雪中送炭

就是要找出錯誤的原因，分析錯誤類型，看其屬于知識性錯誤、能力性錯誤、心理性錯誤，還是屬于審題、計算等非智力因素造成的錯誤，并且要把它們寫下來，再給出正確解答.

例1 已知 f（x）=mn+x，A={x|f（x）=x}={3}，B={x|f（x+6）=-x}，則B=.

有些同學的解法：把3代入方程f（x）=x ，可得到 m=3n+9，代入f（x+6）=-x ，得到x2+（6+n）x+3n+9=0，即（x+3）[x+（n+3）]=0，但此時不知道怎么求n的值.

評講后一些同學只是填上正確答案{-3，3}，不寫出正確的解題過程，一段時間以后自己也不知道答案是怎么得來的.

事實上，集合A 只有一個解還意味著Δ=0，即n2+4m=0，此式與m =3n+9聯立解得n=-6，從而可得B 的解為{-3，3}，只要把這一過程寫在題目的邊上，以后即使忘了，看一下題記就可以明白了.

一名同學在原題邊上寫道：“要從已知{x|f（x）=x}={3}中讀出兩個信息：二次方程f（x）=x有重根3，這樣就會聯想到Δ=0，于是得到兩個關于m，n 的等式，本例表明認真審題的重要性.”

不僅要寫出正確答案，還要能做到觸類旁通，在上例的基礎上又有一道考題：“設集合A={x|x2+2x+a=0}，則A 中的所有元素之和為.”

仍有不少同學沒有發現重根時集合只有一個元素了，只想到韋達定理，填“-2”，丟掉了另一個可能情況a=1.由此我們看到寫錯解題記的重要性了.

又例如：函數y=sin2x+acos2x的一條對稱軸為x=-π8，則a=.

不少同學用輔助角公式，經過復雜的運算得到a=±1的錯誤答案.其實，選取兩個橫坐標關于x=-π8的對稱點，比如，x=0和x=-π4，則f（0）=f-π4，立刻得到a=-1.

一名同學在題記中寫道：“原來解答此類問題時只想到正弦曲線的對稱軸是過圖像最高（低）點且垂直于x軸的直線，這樣計算量大，解出的錯誤還要進行檢驗，稍不留神就會出錯.而用賦值法特別簡單，這種方法在解客觀題時經常使用.”

寫錯解題記要因人而異、因題而異，結合自己的錯誤情況和對問題的理解程度，寫出錯因分析和正確解答，并且盡可能把問題推廣到一般情形，做到舉一反三.

（二）正解題記——錦上添花

題目解對了還要寫什么題記？甚至有些同學在考試后老師評講時都不認真聽，認為沒有什么可聽的.其實，這種想法也是不對的.老師可能會給出多種解法，有些解法是你沒有想到的，有些方法比你的解法更簡潔，也許有些方法并沒有你的解法簡潔，但其思維過程會給你一些有益的啟示；老師還會把某個習題進行縱向或橫向發散，得到一些變式，或把習題推廣得到一類問題的解法或一般結論，如此等等，都值得你認真地聽講，這也是寫正確題記的目的所在.

例2 在橢圓x225+y29=1上求一點P，使它到右焦點的距離是它到左焦點距離的4倍.

大多數學生的解法是：設P（x，y），由題意得方程組，再解方程組.

從道理上說，這種解法是無可厚非的，但少數同學對解二元二次方程組有一種“先天”的畏懼感，要正確解出這個方程組又談何容易.有些同學由于選用不合理的解題方法，導致算不下去，只能中途擱筆，不了了之.能解對確屬不易，這種“不怕吃苦的精神”值得肯定，但要知道這種方法著實不可取.本題的簡潔解法應該是運用橢圓的定義求解.

由橢圓定義得|PF1|=2，|PF2|=8，坐標化后平方相減立刻得到答案.兩種解法的計算量不可同日而語，這是題記的好內容.

（三）正誤辨析——如虎添翼

有時某種方法解題功能強大，往往會不分情況濫用，以致錯了自己還不知為什么.這時有必要針對這種情況寫題記，選擇相關的典型題目作比較，理清它們之間的相互關系，從本質上理解問題，達到舉一反三、觸類旁通之功效.

例3 已知拋物線的方程是y=x2，當b為何值時，直線y=2x+b與拋物線有兩個不同的交點、兩個相同的交點、沒有交點？

此題求解的通法是把直線方程代入曲線方程組成方程組，消去一個未知數得到一元二次方程，由Δ>0、Δ=0、Δ<0來求解，但這種方法在解下面的問題時就不靈了.

設曲線C1：x2+y2=1（x≥0），C2：y=x+b，當b為何值時，C1與C2有兩個不同的交點、兩個相同的交點、沒有交點？

原因何在？通過認真思考后同學們不難發現，把y=x+b代入x2+y2=1，平方后范圍擴大了，一名同學在解完上述兩題之后的題記中寫道：求曲線交點的一般方法是設曲線C1：f1（x，y）=0，C2：f2（x，y）=0，則曲線C1與C2有交點的充要條件是方程組f1（x，y）=0f2（x，y）=0有實數解.而方程組通常要轉化為一元二次方程f（x）=0或g（x）=0，這種轉化是否等價，是解答正確與否的關鍵，有時方程中的變量是受到條件制約的，忽視這一點就可能犯錯誤，自己一時還難以發現，這時就要運用數形結合等方法來幫助求解.

判別式不靈的地方在解析幾何中還有嗎？ 有！要求直線和拋物線、雙曲線只有一個交點，僅用判別式還不夠，當直線和拋物線對稱軸平行或直線與雙曲線的漸近線平行時，僅用判別式都不能得到正確結論，還需要數形結合或采用其他特殊方法來求解.

老師在解題的小結中寫道：“直線曲線兩相交，判別式是一個寶；辯證觀點看問題，特殊情況要周到；數形結合補漏洞，關鍵時刻莫忘掉.”這正好可以作為此類問題的題記.

（四）題解評注——清楚明白

寫題記的目的就是要把自己曾經做錯的、容易混淆的、容易遺忘的內容記錄下來，因而就要寫得清楚明白，當過一段時間后，對一些模糊的知識通過閱讀題記就能很快理解.

例4 若數列{an}的前n項和Sn=pnan（n∈N*），且a1≠a2，求常數p，并證明數列{an}是等差數列.

解 令n=1，得a1=pa1.（已知an和Sn的關系，一定要考慮n=1時的情形）若p=1，則S2=a1+a2=2a2，那么a1=a2，與已知矛盾.（過程雖短，卻是完整的反證法）∴p≠1，a1=0，a2≠0.

由S2=a2=2pa2，得p=12（a2可以約去），∴Sn=n2·an .從而當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2·an-n-12·an-1 （n=1時，a0無意義），∴ann-1=an-1n-2 （n≥3，n=1，2時無意義），∴ann-1=an-1n-2=…=a32=a21（分母比分子下標小1），∴an=（n-1）a2=a1+（n-1）·a2（n≥3），上式對n=1，2時也成立（不能忘記n=1，2時的情形），所以，數列{an}是以a1=0為首項，a2為公差的等差數列 （a2是不為0的常數，可以作為公差）.

本題的題解評注把解題的注意事項都寫清楚了，即使過了一段時間以后自己忘記了，再看一下評注也就明白了.有些同學對此可能不以為然，但不知你是否有過當時聽懂或會做，過一段時間就想不起來的經歷，如果有，寫好題記能讓你在較長時間后立刻恢復“記憶”，從面使你失而復得；同時，寫好題記還能培養你思維的邏輯性、條理性以及書寫表達能力.

三、題記實踐

（一）師生互動

教師應定期地將學生平時的數學題記收上來進行集中批閱，然后將學生題記中出現的典型的案例再結合數學作業中出現的問題在課堂上進行講評.這種講評是數學教學的一個重要環節.講評時要充分肯定學生的題記，發揮題記的作用，從而提高講評的效率，要充分挖掘問題作業的潛在價值.在題記講評時，應從學生已經做過的問題作業入手，通過分析學生作業和題記中暴露出來的各種問題，讓學生明白自己所做作業的問題出在哪里，再從學生熟悉的問題情境出發，通過巧妙的延伸與變式，引入新問題的思考與探究，激發學生的求知欲望，調動學生思考的積極性，引導學生更加深入理解作業和題記的潛在價值，這樣做對減輕學生平時的學習負擔，提高學生的數學學習興趣起到積極的作用.

（二）生生互動

合作學習是目前世界上很多國家普遍采用的一種富有創意和實效的教學模式.現代心理學研究表明，學生與周圍環境的交互作用，對于學習內容的理解和掌握起著至關重要的作用.互動教育觀認為，有效的學習是通過人際互動產生的.

在課堂上教師有意識地辟出一段時間來，將學生分成幾個學習小組，交流彼此的題記和平時的錯題本.學生在表述、討論和相互評議的過程中，利用學生與學生之間語言和非語言的交流，可以對學生彼此的學習表現提供反饋，更利于學生認知活動的形成，進而敦促學生，特別是為缺乏學習興趣的學生進行學習提供良好的環境和機會.利于轉化“學困生”，從而取得大面積提高教學質量的效果.這樣讓學生與學生之間互動交流彼此的題記，能提高學生的觀察和體驗能力，在彼此的交流中讓學生能用他人的眼光，而不是僅僅用自己的眼光，從自己的觀點出發，認識情境和發現問題，懂得從不同角度、不同角色去觀察思考問題.教師在課堂上對這種生與生之間的互動方式加以科學利用，還能充分開發和利用教學中的人力資源，為課堂教學注入新的活力.

寫出有特色的題記，有助于達到掌握解題方法、提高自己分析問題和解決問題能力的目的.更重要的是學會反思、學會總結這樣一種使你終身受益的學習方法.寫題記和寫日記一樣，自己可以有充分發揮的余地，寫自己所想、所思、所得，寫出自己的個性和風格，當然，最后也會寫出自己的水平和數學成績.此外還有歸納錯題本、建立數學檔案、寫數學日記等，可以以文字形式記錄，也可以用圖表方式標記，這樣會受到事半功倍的學習效果.