從一道常規題看解題教學中如何教會學生思考

偉大的解題學家波利亞認為“教學的目標是教會那些年輕人去思考；‘教會思考’意味著數學教師不僅僅應該傳授知識，而且應當去發展學生運用所傳授的知識的能力”.這一觀點說明，教師的任務不僅應該起到傳遞知識的作用，更應該教會學生數學地思考和解決問題，把培養學生思維能力作為教學最重要的目標.而解題教學應該是培養學生學會思考的最好途徑，但傳統解題課堂上，教師的教學模式、教學思想和教學行為體現的并不是以教會學生思考為目標，而是以直接傳遞教師解題思維為目的，以分析問題、講解問題、呈現答案的教學模式為手段，將學生思維能力的發展簡單定格為向籃子里放西瓜一樣進行填充.下面從一道常規的一元二次不等式問題的解決和教學為例，闡述上述觀點，并給出解題教學建構的相關分析.

1.一道不等式問題及常規解法

問題：不等式ax2+bx+c<0的解集為{x|1

解法1 因為不等式ax2+bx+c<0的解集為{x|10且1和2是方程ax2+bx+c=0的兩個根.根據韋達定理有-ba=3，ca=2.于是c>0且-bc=32，ac=12，這樣cx2-bx+a<0x2-bcx+ac<0，即所解不等式為：x2+32x+12<0，解之，解集為x|-1

以上解題方法過程再普遍不過了，課后學生也順乎自然地理解了該方法，對于這個問題基本上都能獨立地再解一遍，但是學生的思維能力得到發展了嗎？這樣的解題教學實質上只是鞏固了基本知識，豐富了學生大腦中的問題模型，但并未發展其思維能力.在學生面臨新問題時，他們更多地會去搜尋大腦中的問題模型，而一旦找不到問題模型，問題解決過程便終止，這樣思維過程使得學生在面臨新問題時不能甚至不敢按自己的思路對問題進行探究和思考.這樣的教學使教師的任務成為了知識的傳遞和對思維的傳授，而傳授思維最終必定使學生的思維變得生硬.

2.不同的解法

教師應該順乎自然地調動學生思考，在問題解決中發展學生的思維能力.對于上述問題，以下的幾個問題可以讓學生更清楚地認識問題，更能幫助學生正確地進行思考和探究.

“已知是什么？未知是什么？通過已知我們能得到些什么？你能否想到一個不等式使其解集為{x|1

通過已知可得到兩個信息：①a>0，②1和2是方程ax2+bx+c=0的兩個根.問題的目標是求出a，b，c.

解法2 不等式（x-1）（x-2）<0的解集就是{x|1

解法3 由韋達定理得-ba=3，ca=2，從而b=-3a，c=2a，代入不等式cx2-bx+a<0得2ax2+3ax+a<0，因為a>0，所以2x2+3x+1<0，其解集為x|-1

以上這些好的問題，原本應該是學生應該想到的，但是由于長期接受教師的解題思維過程，從而學生失去了自我提問和獨立思考探究的能力.顯然解法1是最不容易想到的，卻成為了課堂解題教學中最常見的解法；解法2是最應該想到的，但很少有人想到；解法3極具探究性，并且能從更高的角度去把握問題，但現在的教學使學生不敢大膽取值探究；解法4源于一個基本原則“盡可能減少未知量”，即消元思想.實際上，消元才是問題的核心思想，只是因為思路不一樣，消元的方式不同而已.

3.如何教會學生思考

事實上，根據波利亞的觀點：教師最重要的任務之一是幫助他的學生，應當謹慎地、不露痕跡地幫助學生；教師應當把自己放在學生的位置上，他應當看到學生的情況，應當努力去理解學生心理正在想什么，然后提出一個問題或是指出一個步驟，而這正是學生自己原本應想到的.目的都是為了調動學生的思考，屬于學生自己并且合理的數學思考，并在問題解決中培養這樣的思維能力.

具體地說，在解題教學中可以總結為以下幾點：①教師應該提出一些具有一般性的問題來啟發學生的思維，這些用來啟發學生的問題應當具有普遍的應用性，讓學生在不同的問題中形成良好的思維習慣.②教師應該對要講解的問題進行獨立思考，盡可能讓自己的思維不受到傳統思維的束縛，多從學生的思維能力去思考問題，考慮到學生能想到的問題和不容易想到的難點.③教師所傳授給學生的技能不應該是針對個別問題的手段，應該是更能普遍使用于更多題目的基本準則，培養學生在大的準則下進行探究才能促進學生思維能力的發展，例如上述問題中的消元思想便是一個很好的準則；④培養學生變化問題的能力，變化的手段包括特殊化、一般化、類比、聯想等手段.如：上述問題中令a=1，可得一個新問題：不等式x2+bx+c<0的解集為{x|1

綜上分析，學生思維能力的培養要基于學生共同的知識基礎和思維基礎，教師在解題教學中應把學生思維能力的發展放在教學的第一位，教會學生正確的思維方式，讓學生形成大膽、正確、合理的思維習慣，不拘泥于生硬的思維方式，構建出學生思維和言論自由的合理課堂，讓不同的思維方式在一個激勵的氛圍中碰撞出絢麗和諧的解題方法，創造出嶄新的解題教學的課堂.