例談一道函數(shù)題的變式教學(xué)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，貫穿了整個高中數(shù)學(xué)課程，同時還是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中，函數(shù)知識占有極其重要的地位.而任意性、存在性問題，又是近幾年高考常考題型之一，尤其是這兩個在一題中同時出現(xiàn)時，更是令學(xué)生焦頭爛額，不知所措.如何在教學(xué)中突破這個難點(diǎn)，使學(xué)生輕松理解領(lǐng)會，是一線教師經(jīng)常思考的問題.筆者以自己的實(shí)際教學(xué)體會，從一道習(xí)題出發(fā)展開，希望能夠?qū)W(xué)生及同行有所幫助.

問題 已知：

（1）當(dāng)x∈[0，1]時，求f（x）的值域；

（2）對任意x1∈[0，1]，總存在x2∈[0，1]使得g（x2）=f（x1）成立，求a的取值范圍.

分析 本題第（1）問較為簡單，詳細(xì)答案略，f（x）的值域?yàn)閇0，1]，難點(diǎn)主要集中在（2）問上，學(xué)生主要對題意理解有障礙，不能準(zhǔn)確深刻理解“對任意x1∈[0，1]，總存在x2∈[0，1]使得g（x2）=f（x1）成立”這句話，實(shí)際上它主要闡述的是當(dāng)x∈[0，1]時，f（x），g（x） 這兩個函數(shù)值域之間的關(guān)系.解答如下：

由（1）問知f（x）的值域?yàn)閇0，1]，另g（x）的值域?yàn)閇5-2a，5-a]，記f（x）的值域?yàn)榧螦，g（x）的值域?yàn)榧螧，則由題意可知AB，故有5-2a≤05-a≥1得52≤a≤4，所以a的取值范圍為：52，4.

為了幫助學(xué)生理解消化，我們可作如下小結(jié)：

結(jié)論1：對任意x1∈D1，存在x2∈D2，使得g（x2）=f（x1）等價于函數(shù)f（x）在D1上的值域A是函數(shù)g（x）在D2上的值域B的子集，即AB.

在問題第（2）問理解的基礎(chǔ)上，教師在課堂上，可在題目條件不變的情況下作適當(dāng)變式，以幫助學(xué)生攻克難點(diǎn)，列舉如下：

變式1：是否存在a，使得對任意x2∈[0，1]，存在x1∈[0，1]使得f（x1）=g（x2）成立？若存在，請求出a的范圍；若不存，在請說明理由.此變式相當(dāng)于要求g（x）的值域A為f（x）的值域B的子集，即BA，解答過程仿照上面，答案略.

變式2：是否存在a，使得對任意x1∈[0，1]，x2∈[0，1]都有f（x1）=g（x2）成立？若存在，請求出a的范圍；若不存在，請說明理由.此變式的目的是幫助學(xué)生進(jìn)一步加強(qiáng)對全稱量詞“任意”的理解.本例實(shí)際上是要求f（x）的值域A與g（x）的值域B相等，即A=B，解答過程略.

變式3：若存在x1∈[0，1]，x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2）成立，求a的取值范圍.此變式的目的是幫助學(xué)生進(jìn)一步加強(qiáng)對特稱量詞“存在”的理解.本例實(shí)際上是要求f（x）的值域A與g（x）的值域B相交非空，即A∩B≠，解答過程如下：

f（x）的值域?yàn)閇0，1]，g（x）的值域?yàn)閇5-2a，5-a]，記f（x）的值域?yàn)榧螦，g（x）的值域?yàn)榧螧，則由題意可知A∩B≠，所以a>05-a<0或5-2a>1，故a的取值范圍為：a>5或0

引導(dǎo)學(xué)生可得出如下結(jié)論：

結(jié)論2：存在x1∈D1，存在x2∈D2，使得f（x1）=g（x2）成立，等價于函數(shù)f（x）在D1上的值域A與函數(shù)g（x）在D2上的值域B的交集不空.

以上變式均是圍繞“f（x1）=g（x2）成立”這個角度展開的，實(shí)際上強(qiáng)調(diào)的是等的關(guān)系，等的關(guān)系體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美和統(tǒng)一美，而不等關(guān)系則體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的奇異美，所以我們在教學(xué)中還要教會學(xué)生辯證地去分析問題，可以再來研究不等關(guān)系.

變式4：對任意x1∈[0，1]，總存在x2∈[0，1]使得f（x1）

分析 此題既含恒成立又含有存在性問題，對于學(xué)生來說由等到不等，是個難點(diǎn)，老師在處理時可以各個擊破，先分別把一方當(dāng)作常數(shù)處理然后找到關(guān)系式.此題我們可以按如下步驟進(jìn)行，先把題目看為：（1）對任意x1∈[0，1]， f（x1）

由題意“對任意x1∈[0，1]，總存在x2∈[0，1]使得f（x1）

在實(shí)際解題中，可能最值不是這么容易求出來的，這時候我們可以抓住一個函數(shù)處理，轉(zhuǎn)化為恒成立或存在性問題處理，針對變式4另解如下：

解法一 若函數(shù)g（x）最值明確，f（x）最值不明確時，可轉(zhuǎn)化為：對任意x1∈D1，f（x1）0），經(jīng)過化簡可轉(zhuǎn)化為對任意x∈[0，1]，2x2+（a-5）x+a-5<0，這時已化為一個二次函數(shù)問題，可記h（x）=2x2+（a-5）x+a-5，則有h（0）<0h（1）<0，解得0

解法二 若函數(shù)g（x）最值不明確，f（x）最值明確時，可轉(zhuǎn)化為：存在x2∈D2，使f（x1）max1，即存在x∈[0，1]，使得成立ax+5-2a>1，得x>2-4a在x∈[0，1]上有解，故1>2-4a，所以0

上述兩種解法在課堂教學(xué)中既可以開拓學(xué)生思路，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，又可以通過一題多解溝通已學(xué)知識的相互聯(lián)系，培養(yǎng)敏捷思維的習(xí)慣，尋找最佳的解題技巧，確保解題的準(zhǔn)確性.

變式5：存在x1∈[0，1]，對任意x2∈[0，1]有f（x1）

分析：此題與變式4解答過程類似，轉(zhuǎn)化為f（x）min0，故a的取值范圍為0

依此類推我們還可作如下兩個變式：

變式6：任意x1∈[0，1]，x2∈[0，1]都有f（x1）

變式7：存在x1∈[0，1]，x2∈[0，1]使得f（x1）

變式教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂上，可以展示知識的發(fā)生過程，促進(jìn)知識間的遷移，同時可提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、課堂的參與性，有助于學(xué)生知識網(wǎng)絡(luò)的形成，一線數(shù)學(xué)教師應(yīng)精心準(zhǔn)備，積極提高課堂45分鐘效益.