例談利用排列組合培養學生發散思維

發散思維是依據研究對象所提供的各種信息，使思維打破常規，尋求變異，廣開思路，充分想象，探索多種解決方案或新途徑的思維形式.它的主要特征是求異性和多樣性.我在排列組合教學中，精心設計一些培養發散思維的習題，通過一題多變、一題多解、一題多問和一題多答等對學生進行發散思維的訓練，從而靈活地掌握各知識點，進而達到知識遷移和巧解巧算之目的.下面是具體做法，以饗讀者.

一、一題多變變化發散

一題多變，主要通過條件變換，促使學生舉一反三，使學生對問題的認識有實質性的理解，具體做法就是讓學生經過思考，把原題變成保持原知識點不變的題.通過一題多變，培養學生的變化發散思維.

案例1 7個相同的小球放入4個相同的盒子中，每盒至少一個，有幾種不同的放法？

發散1：x1+x2+x3+x4=7的正整數解有幾個？

發散2：x1+x2+x3+x4=7的非負整數解有幾個？

發散3：7個相同的小球放入4個相同的盒子中，有幾種不同的放法？

發散4：小朋友苗苗有10塊相同的巧克力糖塊，苗苗是個貪吃的小朋友，她決定每天至少吃一塊巧克力糖塊，直到吃完.同學們，你能幫她算算有多少種不同的吃糖方法嗎？

二、一題多解解法發散

一題多解，就是廣開思路，充分挖掘各種條件，從多個角度去處理同一組合問題，這樣，腦海中儲存的大量信息會充分調動起來，在探求問題的解法方案中，使思維極大地得到發散.

案例2 一張節目單上原有6個節目，如果保持這些節目的相對順序不變，再添進去3個節目，求共有多少種不同的安排方法.

發散1：分為三步來做，第一步先添一個節目，原來有6個節目，中間共有7個位置，有7種選擇；第二步再添一個節目，因為現在已有7個節目，共有8個位置，有8種選擇；第三步把最后一個節目添進去，根據已有8個節目，有9個位置好放，有9種選擇由分步計數原理共有7×8×9=504種選擇.

發散2：分類處理，因為三個節目添進去，可以相鄰也可以不相鄰，（1）三個節目不相鄰，由插空法，有C37A33=210種辦法；（2）三個節目都相鄰，由捆綁法與插空法，有C17A33=42種辦法；（3）三個節目有且僅有兩個相鄰，有C27A22A33=252，由分類計數原理有210+42+252=504種選擇.

發散3： 換個角度，相當于9個節目中選擇3個，排成一列C39A33=504.

發散4：多方位思考，9個節目排成一排，有A99種辦法，但是原有6個節目的相對順序不變，6個節目排列有A66種辦法，每一種可能性都是一樣，所以共有A99A66=504種辦法.

三、一題多答分析發散

一題多答主要有：一是對同一問題有不同的表達方式；二是由于條件的不定性，使同一問題有不同的答案.解決這類問題時，要善于抓住問題的本質，并從本質出發，去思考表達或解決這一問題的不同方法.這種以知識點為中心的一題多答，既培養了學生的發散思維能力，還有助于學生準確全面地掌握知識.

案例3 7個人分到6個班級學習，有多少種分法？

發散1：7人報名參加6個項目比賽，每人限報一項，多少種報名方法.？

發散2：7個人搶占6個座位，每個位子坐1人，位子坐完為止，多少種坐法？

發散3：7個人分為6個小組有幾種方法？

發散4：7個相同的小球分為6堆，共有幾種辦法？

四、反向思考逆向發散

利用特殊題型，培養學生對數學問題的逆向思維能力.逆向思維屬于辯證思維，是一種重要的科學思維，它的一個重要形式就是由目標至條件的反向思考.

案例4 7個不同的球放入不同編號的7個盒子中，只有一個盒子空著的方法有多少？

發散：表達式nC2nAn-1n-1可以作為下列哪一問題的答案？（ ）

A.n個不同的球放入不同編號的n個盒子中，只有一個盒子放兩個球的方法數

B.n個不同的球放入不同編號的n個盒子中，只有一個盒子空著的方法數

C.n個不同的球放入不同編號的n個盒子中，只有兩個盒子放兩個球的方法數

D.n個不同的球放入不同編號的n個盒子中，只有兩個盒子空著的方法數

五、設計新題遷移發散

遷移發散就是利用已有知識解決新的問題.要解決新問題要從問題出發，聯想與問題有關的所有知識，利用這些知識去分析問題，這樣在遷移中發散，發散促進了遷移，從而優化了思維，提高了學生分析問題和解決問題的能力.

案例5 小朋友苗苗有10塊相同的巧克力糖塊，苗苗是個貪吃的小朋友，她決定每天至少吃一塊巧克力糖塊，直到吃完.同學們，你能幫她算算有多少種不同的吃糖方法嗎？

分析 本題就是相同的元素分成幾塊的問題，原來的背景我們非常的熟悉，本題就是創設一個與學生密切相關的情景，激發學生的興趣，提高他們參與的力度.

案例6 某理想城市的街道如圖，要想從A到B的最短路程有多少種走法？

分析 問題是一個組合問題，置于一個全新的背景之下

發散思維就像教學花園中的一朵奇葩，發散著動人的光彩.發散性思維要求人們從已知的信息出發，通過對已知的信息進行重新組合，使思維沿著不同的方向、不同的角度擴展，從多方面尋求更多更新的答案.作為一名教師，要逐步在教學中滲入想法，激發學生發散思維，使他們在解決問題中提高數學能力.