復變函數中積分的計算

【摘要】復變函數在現代數學的涉及面很廣.在復變函數論中，復變函數的積分求解問題是復變函數的重要問題，更是復變函數的難點.本文總結計算復變函數積分的計算方法，主要有留數與幅角原理、級數法、柯西公式法等方法.

【關鍵詞】復變函數；積分求解

引 言

縱觀復變函數的發展史，我們不難看出復變函數在解決實際問題中的重要性.解析函數作為復變函數的主要研究對象，而解析函數的性質許多是由復變函數的積分來獲取的，故而，掌握并且靈活運用復變函數積分的計算尤為重要，復積分中的柯西積分定理是理論的關鍵所在，而由其產生的柯西公式、幅角原理、留數定理等都與積分的計算息息相關.其中，積分在孤立奇點的計算要運用到洛朗展式.級數與積分的結合在計算的運用將復變函數這一理論推向了又一高峰.文章重點介紹留數與幅角原理、級數法、柯西公式法進行復積分計算的方法，使得計算更為方便.

一、柯西公式

柯西定理是復變函數論的重要基礎之一，也是復變函數論的核心定理.柯西公式以及留數定理也是由其發展得出的結論.

柯西定理：設f（z）是單連通區域D內的解析函數.

（1）設C是D內任一條簡單閉合曲線，那么∫Cf（z）dz=0，在這里沿C的積分是按反時針方向取.

（2）設C是在D內連接m和n兩點的任一條簡單曲線，那么沿C從m到n的積分的值由m和n決定，不依賴于曲線C，這個積分也可記作∫nmf（x）dx.

柯西定理討論一個區域D上的復函數在什么條件下在D上積分與路徑無關，最簡單的柯西積分定理的形式為：當D是單連通區域，而f（z）是D上的解析函數時，以下3個互相等價的結論成立：①f（z）在D內沿任意可求長曲線積分與路徑無關.②f（z）在D內沿任意可求長閉曲線積分為零.③f（z）在D上有原函數. 如果在連續函數類中討論，則以上定理還是可逆的.