例談定比分點公式在代數(shù)中的兩方面應(yīng)用

【摘要】在定比分點公式中，利用定比的設(shè)置來談?wù)劧ū确贮c公式在代數(shù)中的兩方面應(yīng)用；它能給人以賞心悅目之感.

【關(guān)鍵詞】定比分點公式；定比；應(yīng)用

我們知道，設(shè)A，P，B是數(shù)軸上三點，定比λ=AP/PB且λ的幾何意義是：λ>0Ρ在Α與Β之間，λ=0P與A重合，λ不存在P與B重合.

定比分點公式是解析幾何中最基本的公式之一，其核心是定比λ的確定；若能巧妙地設(shè)置λ，不僅能使某些問題化難為易，而且給人新穎獨特、耳目一新之感.下面我們根據(jù)λ的幾何意義，在代數(shù)中給出兩個方面的應(yīng)用.

1.證明形如a≤p≤b的不等式

設(shè)數(shù)軸上三點A，P，B，其坐標(biāo)分別為a，p，b，定比λ=AP/PB=（p-a）/（b-p）.

則由λ的幾何意義知：（1）λ>0a

例1 設(shè)a為2的一個近似數(shù)，b=a+2a+1 ，則2在a與b之間，且b比a更接近于2.

證明 在數(shù)軸上取三點A，P，B，其坐標(biāo)分別為a，2，b，則

λ=APPB=2-ab-2=2-aa+2a+1-2=（2-a）（a+1）a+2-a2-2=（2+1）（a+1）>1.

所以2介于a與b之間，且b比a更接近于2.

例2 △ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且A=12C.求證：b3

證明 設(shè)數(shù)軸上三點A，P，B的坐標(biāo)分別為b[]3，c-a ，b[]2.則

2.求形如c+d·f（x）a+b·f（x）函數(shù)的值域

設(shè)函數(shù)y=c+d·f（x）a+b·f（x）（ab≠0）.我們把函數(shù)改寫成y=ca+[ba·f（x）]·db1+ba·f（x），在數(shù)軸上取三點A，P，B，其坐標(biāo)分別為ca，p（y），db，又取λ=APPB=baf（x）.我們可以根據(jù)λ的幾何意義來確定p（y）的取值范圍，即y的取值范圍.

例3 求函數(shù)y=ex-1ex+1的反函數(shù)的定義域.

解 即求此函數(shù)的值域.

通過上述兩方面的事例，我們構(gòu)造定比分點來解題，確實給人賞心悅目之感，而且加深了數(shù)學(xué)各分支間的聯(lián)系，對創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)有一定的幫助.