淺談抽屜原理在幾何證題中的應用

【摘要】 探究用抽屜原理證明幾何問題的途徑與方法.

【關鍵詞】抽屜原理；至少存在

“至少存在”幾何問題的證明，歷來是棘手的數學問題，但是，應用抽屜原理可以達到證明的目的.

什么是抽屜原理？

一般地，將m+1個物體放入m個抽屜，那么至少有一個抽屜的物體個數不少于2個.

我們可以用反證法來證明這個命題.

假設每個抽屜的物體個數少于2個，那么，m個抽屜所放物體個數少于或等于m個，這與所給物體個數m+1個發生矛盾，所以，假設是錯誤的，命題是正確的.

按照抽屜原理，將4根火柴放入3個抽屜，那么至少有一個抽屜的火柴根數不少于2根；將9根火柴放入4個抽屜，那么至少有一個抽屜的火柴根數不少于3根.

下面用抽屜原理來證明幾個平面幾何的數學問題.

圖1 圖 2例1 在邊長為1的正三角形中（包括邊界），任意放入9個點，求證：這9個點中，至少有3個點，以它們為頂點的三角形的面積不大于316.

證析 如何切入問題呢？邊長為1的正三角形面積為34，是面積316的4倍.

于是想到將三角形分割，分割有兩種方法.

方法一：將正三角形一邊四等分（如圖1），分點與對頂點連線構成四個底為1[]4，高為32

的三角形（等底同高），將這四個三角形看作四個抽屜，共同的邊可約定為某一個三角形的邊，將9個點放入四個抽屜中，由于9÷4=2……1，從最不利的情況入手，每個三角形內（包括邊界）有兩個點，其中至少有一個三角形的點數不少于3個，如果這三個點在某一個三角形的三個頂點處，其面積為316，如果這三個點有一個不在頂點處，其構成的三角形面積小于316，所以，至少有三個點，以它們為頂點的三角形的面積不大于316.

方法二：取三邊中點，依次連接中點，得到三條中位線，它們將三角形分為四個邊長為1[]2的小正三角形（如圖2），將這四個三角形看作四個抽屜，共同的邊可以約定為某個三角形的邊，由于9÷4=2……1，從最不利的情況入手，至少有一個三角形的點數不少于3個，如果這三個點在某一個三角形的三個頂點處，其面積為316，如果這三個點有一個不在頂點處，其構成的三角形面積小于316.命題得證.

圖 3例2 在半徑為R的圓內（包括邊界），任意放入8個點，求證：這8個點中至少有兩個點，它們之間的距離小于半徑R.

證明 如圖3所示，將圓O六等分，分點依次為A，B，C，D，E，F，OA，OB，OC，OD，OE，OF將圓分為6個全等扇形，這6個扇形可以看作6個抽屜，O為6個扇形共有的圓心，可設定為處于任何一個抽屜.假設O是8個點中的一個點，從最不利的情

況考慮，其他7個點有6個位于A，B，C，D，E，F的位置處，由于7÷6=1……1，在某一個扇形內（包括邊界），至少還有一個點，這個點與扇形中已知的三個點中的任一點之間的距離，都小于半徑R.于是命題得證.

我們做個小結：（1）例1、例2都是“至少存在”問題的證明，證明方法是抽屜原理，所以，抽屜原理是證明“至少存在”問題的一種方法.

（2）構造抽屜是證題的關鍵，也是難點，需從問題中解讀信息，尋找題眼，做到可行的構造，其思路可總結為：

捕捉信息分割圖形構造抽屜證明問題.

下面從一個構造的例子入手，說明構造的不可行性.

例3 在邊長為1的正方形中（包括邊界），任意放入9個點，求證：這9個點中，至少存在3個點，以它們為頂點的三角形的面積不大于1[]8.

分析 如圖4，將正方形按對角線分割成四個全等的直角三角形，每個小三角形的面積是1[]4，與1[]8的信息不吻合，如果將這9個點放入四個三角形中（包括邊界），至少有一個三角形的點數不少于3個（包括邊界），以它們為頂點的三角形的面積不大于1[]4，無法實現面積不大于1[]8的目的，所以這種分割不可行.

如圖5、圖6是可行分割.（證明略）

圖 4 圖 5 圖 6

因此，用抽屜原理證題，合理構造抽屜是至關重要的.

【參考文獻】

[1]金成梁.小學數學競賽指導.人民教育出版社，2011.

[2]熊斌.解題指導.華東師范大學出版社，2000.11.

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