2013年高考圓錐曲線與設而不求

【摘要】設而不求法已是一類解決圓錐曲線問題中較為成熟和普遍的方法，但今天我們仍將結合幾個例子來進一步探討這一話題.結合筆者對2013年各省市高考數學卷的統計研究，筆者發現設而不求法在圓錐曲線類題目中仍具有其用武之地.現就三個方面的問題談談設而不求法在2013年高考圓錐曲線內的應用.

【關鍵詞】2013年高考；圓錐曲線；設而不求

1.向量等式問題

在圓錐曲線大題中，常常將曲線的標準方程和幾何性質、直線的方程、向量的運算等基礎知識結合起來，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質.其中不乏整體思想與方程思想的巧妙利用.解決此類題目要緊緊抓住過焦點、截得弦長、直線斜率等關鍵詞，結合韋達定理、中點坐標公式、向量內積公式等，相互聯系，整體代入，設而不求.2013年，天津卷及湖南卷等都涉及向量與圓錐曲線相結合的問題.

例1 （2013高考天津卷，理科）設橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點為F，離心率為33，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為433.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點.若AC·DB+AD·CB=8，求k的值.

解析 （Ⅰ）根據已知離心率及截線段長，將過F點與x軸垂直的直線與橢圓方程聯立，可求得橢圓的方程為x23+y22=1（式①）.（Ⅱ）設點C（x1，y1），D（x2，y2），由F（-1，0）得直線CD的方程為y=k（x+1）（式②），式①與式②聯立消去y，整理得（2+3k2）x2+6k2x+3k2-6=0.由韋達定理可得：x1+x2=-6k2/（2+3k2），x1x2=（3k由已知得6+（2k2+12）/（2+3k2）=8，解得k=±2.

2.直線方程問題

求直線方程問題常見的有兩類：一是過“定”點直線的方程，定點常為焦點、頂點或已知點；二是“定”斜率.涉及這兩類問題時，要結合中點坐標公式、斜率公式和“點差法”整體代入.2013年，新課標理科卷、陜西卷、四川卷等都涉及該類問題.

例2 （2013高考陜西卷，文科）已知動點M（x，y）到直線l：x=4的距離是它到點N（1，0）的距離的2倍.

（Ⅰ）求動點M的軌跡C的方程；（Ⅱ）過點P（0，3）的直線m與軌跡C交于A，B兩點，若A是PB的中點，求直線m的斜率.

解析 （Ⅰ）設M到直線l的距離為d，據題意，d=2|MN|.因此|4-x|=2（x-1）2+y2，即x24+y23=1.（Ⅱ）設m：y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2）.聯立直線m的方程與橢圓方程有（3+4k2）x2+24kx+24=0.其中，Δ>0，即k2>32.由韋達定理得：x1+x2=-24k3+4k2，x1x2=243+4k2，因A是PB的中點，故x2=2x1.因此，x1=-8k3+4k2，x21=12k3+4k2，解之得k=±32.所以直線m的斜率為-32或32.

3.軌跡方程問題

軌跡方程問題重要的是找準動點與已知圓錐曲線的關系，動點的軌跡常有中點的軌跡、等比點的軌跡、固定面積圖形中某動點的軌跡.而關系則有夾角關系、距離關系、垂直關系、面積關系等.解此類題目常將這層“關系”作為解題的突破口.2013年，遼寧卷、湖南卷等涉及了此類問題.

例3 （2013高考遼寧卷，理科）已知拋物線C1：x2=4y，C2：x2=-2py（p>0）.點M（x0，y0）在拋物線C2上，過M作C1的切線，切點為A，B（M為原點O時，A，B重合于O）.當x0=1-2時，切線MA的斜率為-12.（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）當M在C2上運動時，求線段AB中點N的軌跡方程（A，B重合于O時，中點為O）.

解析 （Ⅰ）對C1的方程求導，結合MA的斜率可求得MA的方程為y=-12（x+1）+14.因點M在直線MA和拋物線C2上，故易解得p=2.（Ⅱ）設N（x，y），Ax1，x214，Bx2，x224，x1≠x2.由N為線段AB中點知x=x1+x22（式③），y=x21+x228（式④），切線MA，MB的方程為y=x12（x-x1）+x214，y=x22（x-x2）+x224.將MA，MB的方程聯立得交點M（x0，y0）的坐標為x0=x1+x22，y0=x1x24.因為點M（x0，y0）在C2上，即x20=-4y0，所以x1x2=-x21+x226（式⑤）.由式③④⑤得x2=43y，x≠0.當x1=x2時，A，B重合于O，AB中點N為O，坐標滿足x2=43y.因此AB中點N的軌跡方程為x2=43y.

4.小 結

設而不求法在圓錐曲線類題目中具有舉足輕重的作用，在以后的教學過程中仍需把握好這方面的內容.掌握好設而不求法的運用方法，理清圓錐曲線的內在規律，讓圓錐曲線變得有法可依、有理可循.