余弦定理在求邊以及求邊的范圍的幾點思考

【摘要】余弦定理在求邊和求邊的范圍上都有其自身的特點，如果能應用的話當在完成題目的過程中有著事半功倍的效果.

【關鍵詞】余弦定理；求邊；求邊的范圍

余弦定理在高中數學中是一項重要內容，尤其是在求邊和求邊的范圍上相比正弦定理而言有其獨到的地方，下面具體通過幾個例題就余弦定理求邊及求邊的范圍問題進行說明.

余弦定理求邊是余弦定理應用中很常見的問題，通過以下例子來談談應用余弦定理求邊.

分析 用正弦定理來解決這個題目，雖然思路簡單，但計算比較復雜，容易出錯.

解法二 由余弦定理有

解得a1=5，a2=4.

分析 此題利用余弦定理來完成題目比較容易，但給出的條件不是兩邊及其夾角，而是兩邊及其非夾角的余弦值，這樣的題目用正弦定理去做比余弦定理做要麻煩得多，我們就可以明顯地發(fā)現余弦定理求邊的好處.

通過以上例子可以看出用余弦定理求邊除直接應用定理求邊外，還有些題目不用正弦定理，而用余弦定理，可以減少運算量，使運算得到簡化，達到事半功倍的效果.

余弦定理也可以用來求三角形邊的范圍，下面通過實例就余弦定理求邊問題做一探討.

例3 已知銳角三角形的邊長分別為2，4，x，則x的取值范圍是什么？

解析 由題意，x應滿足條件22+42-x2>0，22+x2-42>0，

解得23

分析 此題直接利用余弦定理cosA=b2+c2-a22bc，要使角A為銳角，則cosA>0，所以只需b2+a2-c2>0 來完成題目，但根據大邊對大角我們不需要邊長為2的邊所對的角是銳角的判斷，只要邊長為4所對的邊是銳角就夠了，這樣三角形的三個角都是銳角，所以三角形為銳角三角形，從而確定了第三邊的范圍.通過此例，筆者發(fā)現用余弦定理來確定三角形邊的范圍是一個不錯的辦法.

例4 在銳角△ABC中，邊長a=1，b=2，邊長c的取值范圍是什么？

分析 直接利用余弦定理來求邊的范圍很容易犯上述的錯誤，出錯的主要原因是只考慮了角C為銳角的情況，而忽略了角B也一定是銳角的情況.

解析

利用幾何畫板對例4探究，作出兩個同心圓，小圓的半徑為1 cm，大圓的半徑為2 cm，動點A在大圓周上運動.

如圖，CB=1 cm，CA=2 cm，這時利用度量工具可以測出AB=1.52 cm， 滿足1

第一個等式由前面例1可知1

所以cosB=c2-32c∈（0，1），解不等式可得3

綜上可得c的取值范圍為3

分析 通過上面的例子我們可以看出在余弦定理的應用中，要全面認識余弦定理所蘊含的知識點.在利用余弦定理解決問題中，考慮問題不全面導致范圍擴大，所以要考慮大邊對大角的知識點和銳角三角形的三個角都是銳角.

通過以上例子可以得出，余弦定理在求邊和求邊的范圍上都有其自身的特點，如果應用得當就會在完成題目的過程中起到事半功倍的效果，只要能合理地應用公式內容和公式內容的變形，就可以解決三角形中的許多問題，這里只對求邊和求邊的范圍做了說明，其實還能解決求角等一系列問題.