漫談數形結合在高中數學解題中的應用

在高中數學中有一些習題，借助于數與形的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，使解題思路的尋找或者問題的解決會更直觀，更便捷.

使用數形結合思想處理習題，首先要學生了解“形”并培養學生對“形”有正確的掌握.數學中的形體現在以下幾個方面：在解析幾何中要熟悉方程與曲線的對應，特別是見到方程，能準確地畫出圖形，或至少應認識圖形的大體特征.在立體幾何中應熟練掌握基本圖形，比如柱體有棱柱、圓柱，錐體中有棱錐、圓錐，臺體中有棱臺、圓臺，還有長方體、正方體、正四面體、球體等，經常是出題的載體，因此能順利地畫出立體感強一些的直觀圖以及準確的截面圖是關鍵，或者至少也能在已知圖形中讀出各種位置關系.在代數方面要熟悉數軸上的點與實數是一一對應的關系，熟練掌握基本函數的圖像特征，例如一次函數的圖像是一條直線，二次函數的圖像是拋物線，冪函數中y=x-1的圖像是一、三象限的雙曲線，y=x的圖像是直線，y=x2的圖像是以原點為頂點，開口向上的拋物線，y=x3的圖像關于原點對稱，從左向右呈上升趨勢，并且在一、三象限，y=x12的圖像在第一象限，所有冪函數圖像都過點（1，1）；指數函數、對數函數以及三角函數的圖像都有各自的特征及畫法，還有關鍵點，在平時的教學中有意識的去培養，使學生盡可能畫出準確的圖形.在平面向量中引入有向線段來表示向量，也使平面向量方面的習題可以用數形結合來解決.二元一次不等式組表示的區域的準確性對線性規劃的最優解有直接的影響.因此對各種形的準確掌握是利用數形結合正確解決習題的關鍵.

培養學生對形有一定的掌握之后，還要明確哪類的習題可以用到數形結合，在立體幾何與解析幾何中圖形的對應是非常明顯的，畫出圖形尋求解題思路也很自然，重要的是對一些能用代數方法去解，但比較煩瑣，用數形結合思想會更簡單的題型做一下介紹.

一、在求集合的交集、并集、補集的運算中，可以借用數軸或韋恩圖示來處理

例1 設全集U=R，集合A=（1，+∞），集合B=（-∞，2），則CU（A∩B）=（ ）.

解析 涉及數集的運算，畫出數軸如圖.

可求A∩B={x1

二、把方程的根可以看成是兩個函數的圖像的交點問題來處理，特別是一些超越方程的根，直接去求解方程，在高中階段是無法進行的，而借助于函數圖像就把問題簡化多了；把函數的零點看成函數的圖像與x軸的交點來處理會非常清楚明了

例2 方程sinx=lgx有幾個實根？

解析 在同一坐標系中畫出函數y=sinx與函數y=lgx的圖像，同時注意到當x=10時y=lg10=1恰好是函數y=sinx的最大值，從而可以觀察到兩個圖像有三個交點，知方程

三、在三角函數中可以借助單位圓、三角函數圖像處理一些習題，例如求函數單調區間、比較函數值大小、尋找三角不等式的解集、求角的取值范圍等，有許多利用“形”可以很方便地得到問題的求解思路

例3 已知α∈π4，π2，比較sinα，cosα，tanα的大小.

解析 借助單位圓，利用利用三角函數線.如圖，

四、巧妙利用平面向量的幾何意義，可以使一些問題不用計算就可以得到解決，使問題大大簡化

例4 若向量a與b的夾角為120°，且|a|=1，|b|=2，c=a+b，則有（ ）.

解析 由向量加法的幾何意義知：

以a與b為鄰邊作平行四邊形，如圖，則共同始點的對角線那條向量就是c，很容易選出答案B.

五、其他方面可用到數形結合的類型題、求最值類的題

例5 若實數x，y滿足等式（x-2）2+y2=3，那么yx的最大值是多少？

對于這一道題，有的同學看到（x-2）2+y2=3符合三角換元形式，采用之后發現yx的式子既麻煩又無從下手，而有的同學采用數形結合，很快就得到解答.如圖，設k=yx=y-0x-0，

則k就可以看成是圓上任意一點到原點的連線的斜率，

于是問題就轉化為求直線斜率的最大值了.通過圖示，發現過原點引圓在第一象限的切線OA的斜率最大，再通過幾何知識就可以處理了.

又如，求函數f（x）=x2+4+（x-2）2+1的最小值.這也是一道看似簡單實則不容易的習題，但若對幾何中兩點間距離公式熟悉的話，就可以看出

f（x）=（x-0）2+（0-2）2+（x-2）2+（0-1）2，于是問題就可以轉化為在x軸上找一點P（x，0）到定點A（0，2），B（2，1）的距離和的最小值問題了，即求|PA|+|PB|的最小值，結合幾何知識就可以解決.

從上面的例題中可以看出數形結合思想解題的優勢所在，數形結合給人以深刻的感性認識，對于那些難于計算或者比較繁雜的習題只要畫一個圖形就可以一目了然，完全可以避免或減少計算，尤其是對那些不要求計算的標準化題目更為適用了.