數(shù)形結(jié)合的思想在解三角函數(shù)中的應(yīng)用

【摘要】數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，“數(shù)”和“形”是事物本質(zhì)的兩個表現(xiàn)形式，也是一對矛盾體，理解并領(lǐng)悟這點是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方面，并極有利于解決問題；要注意正確地應(yīng)用它，才能達(dá)到應(yīng)有的目的.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)

“數(shù)”與“形”作為數(shù)學(xué)中最古老最重要的兩個方面，一直就是一對矛盾體.正如矛和盾總是同時存在一樣，有“數(shù)”必有“形”，有“形”必有“數(shù)”. 所有的數(shù)學(xué)問題都是圍繞數(shù)和形的提煉、演變、發(fā)展而展開的：每一個幾何圖形中都蘊藏著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系又常常可以通過圖形的直觀性作出形象的描述.因此，在解決數(shù)學(xué)問題時，常常根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)的問題利用形來觀察，揭示其幾何意義；而形的問題也常借助數(shù)去思考，分析其代數(shù)含義，如此將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙地結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié)合”，尋找解題思路.

1.運用數(shù)形結(jié)合思想解題的三種類型及思維方法

①“由形化數(shù)” ：就是借助所給的圖形，仔細(xì)觀察研究，提示出圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系，反映幾何圖形內(nèi)在的屬性.

例1 函數(shù)f（x）=sinx+2sinx，x∈[0，2π]的圖像與直線y=k有且僅有2個不同的交點，則k的取值范圍是（ ）.

分析 本題根據(jù)函數(shù)解析式，畫出圖像，可以直觀而簡明地得出答案，大大地節(jié)約時間，提高解題的效率.

解 函數(shù)f（x）=3sinx，x∈[0，π]，

-sinx，x∈（π，2π].

由圖像可知：1

②“由數(shù)化形” ：就是根據(jù)題設(shè)條件正確繪制相應(yīng)的圖形，使圖形能充分反映出它們相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，揭示出數(shù)與式的本質(zhì)特征.

例2 計算：sin20°-sin40°cos20°-cos40°.

分析 本題直接用三角公式計算較繁！如能由sin20°-sin40°cos20°-cos40°的結(jié)構(gòu)形式聯(lián)想斜率公式，數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，即可巧妙探求.

本式可以看成A（cos40°，sin40°），B（cos20°，sin20°）兩點連線的斜率，如圖，借助單位圓，則∠AOB=20°，∠OAB=80°，∠MOB=20°，∠MOA=40°，設(shè)AB傾斜角為α，則

α=∠MOA+∠OAB=120°，∴tanα=tan120°=-3.

③“數(shù)形轉(zhuǎn)換” ：就是根據(jù)“數(shù)”與“形”既對立又統(tǒng)一的特征，觀察圖形的形狀，分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，引起聯(lián)想，適時將它們相互轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀并揭示隱含的數(shù)量關(guān)系.

例3 求方程lgx-sinx=0的解的個數(shù).

分析 此方程解的個數(shù)為y=lgx的圖像與y=sinx的圖像的交點個數(shù).

因為sinx≤1， lgx≤1，所以0

在平面直角坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖像，如圖，形中覓數(shù)，可直觀地看出兩曲線有3個交點.

2.用數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的最值

求函數(shù)的最值的類型題有很多種，例如：給出函數(shù)，根據(jù)其定義域求最值，這種題型與求函數(shù)的值域是相類似的.另一種求最值的題型則是給出x，y所滿足的方程，再求另一個關(guān)于x，y的函數(shù)式的最值，我們常用數(shù)形結(jié)合來解這類問題，正確地作出圖像，必要時還要配合一定的計算.

例4 求函數(shù)y=2+sinx3+cosx的最大值和最小值.

分析 對于這種特殊的函數(shù)，應(yīng)注意觀察，利用其特殊的性質(zhì)，把函數(shù)看作是定點（-3，-2）與單位圓上的點P（cosx，sinx）連線的斜率.

解 y=2+sinx3+cosx=sinx-（-2）cosx-（-3），這可以看作是定點A（-3，-2）與單位圓上的點P（cosx，sinx）連線的斜率.因此，y的最值就是當(dāng)直線AP與單位圓相切時的斜率.

∵單位圓x2+y2=1中斜率為k的切線方程為y=kx±1+k2 ，

由于該切線過點A（-3，-2），故-2=-3k±1+k2，

∴k=3±34.∴kmax=3+34，kmin=3-34.

通過以上幾個方面的探討，我們初步領(lǐng)略了數(shù)形結(jié)合在解題中的美妙所在了.數(shù)形結(jié)合思想，就是用聯(lián)系的觀點，根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相適應(yīng)的圖形，利用圖形的性質(zhì)和規(guī)律，解決“數(shù)”的問題；或?qū)D形的部分信息或全部信息轉(zhuǎn)化成“數(shù)”的信息，弱化或消除“形”的推理，從而將“形”的問題轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系來解決.