淺談立體幾何中空間角的定位與求法

【摘要】空間角（線線角、線面角、二面角）中以二面角的求法較復雜，是歷來命題的熱點，而解決立體幾何空間角問題的關鍵在于三定：定性分析→定位作圖→定量計算.

【關鍵詞】線線角；線面角；二面角；定性分析；定位作圖；定量計算

立體幾何是全國各省市高考必考題，而空間角的求法也是高考必考內容之一，空間角中以二面角較為復雜，而解決立體幾何空間角問題的關鍵在于三定：定性分析→定位作圖→定量計算.

首先要正確理解每個空間角的定義和特征，以二面角為例：

定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面（新課標人教版A）.

單從定義無法求出二面角大小，實際二面角定義了其平面角，這要深刻理解其定義特征：α，β是由AB出發的兩個半平面，O是棱AB上任意一點，POα， QOβ，且

PO ⊥AB，QO⊥AB，∠POQ是二面角

α-AB-β的平面角.它具有三個特征：

（1）過棱上任意一點，其平面角是唯一的；

（2） 其平面角所在平面與其兩個半平面均垂直；（3）體現出三垂線定理（或逆定理）的環境背景.

例1 （2012年高考（浙江理））如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為23的菱形，且∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=26，M，N分別為PB，PD的中點.

（Ⅰ）證明：MN∥平面ABCD；

（Ⅱ） 過點A作AQ⊥PC，垂足為點Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.

我們只分析第二問，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值，必先找出二面角的平面角.

在菱形ABCD中，∠BAD=120°， AC=AB=BC=DA，BD=3AB，

又因為PA⊥平面ABCD，所以 PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥AD，

所以PB=PC=PD.所以△PBC≌△PDC.而M，N分別是PB，PD的中點，所以MQ=NQ，且AM=12PB=12PD=AN. 取線段MN的中點E，連接AE，EQ，則 AE⊥MN，QE⊥MN，所以∠AEQ為二面角A-MN-Q的平面角.后面利用余弦定理解三角形很容易得出.所以二面角A-MN-Q的平面角的余弦值為3333.

例2 （2012年高考（廣東理））如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE.

（Ⅰ）證明：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值.

我們也只分析第二問，這里是先確定點.

設AC與BD交點為O，連OE.

∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE.

又∵BO⊥平面PAC，∴PC⊥BO，

∴PC⊥平面BOE，∴PC⊥BE.

∴∠BEO為二面角B-PC-A的平面角.

再通過解三角形就求得二面角B-PC-A的平面角的正切值為3.

通過對兩道例題的定性分析、定位作圖和定量計算，特征（2）從另一角度告訴我們：要確定二面角的平面角，我們可以把構成二面角的兩個半平面“擺平”，然后，在棱上選取一適當的垂線段，即可確定其平面角.

總體來說求二面角其目標是分別找“點”、“垂面”、“垂線段”.事實上，我們只要找到其中一個，另兩個就接踵而至.掌握這種關系對提高解題技能和培養空間想象力非常重要.定位是為了定量，二面角的計算是通過其平面角所在的三角形計算而得.而作平面角也是由其基本定義出發，在棱上找一點，在半平面內找一點，或在二面角內找一點，從這點出發作棱的垂線或垂面而得.如果二面角的棱在圖中沒有出現，可采取補形等辦法作出二面角的棱.

綜上所述，二面角其平面角的正確而合理的定位，要在其正確其定義的基礎上，掌握其三個基本特征，并靈活運用它們考察問題的環境背景，建立良好的空間思維，以不變應萬變.

當然，理科考試可以通過建立空間直角坐標系用向量方法解決.

【參考文獻】

[1]新課標人教A版必修2《數學》.

[2]中學數學教學參考.