例談綜合題中等腰三角形分類討論問題

【摘要】等腰三角形分類討論問題是中考中的熱點(diǎn)，本文介紹四個(gè)方法解決此類問題：將三角形的三條線段長度（或長度的平方）分別用參數(shù)表示再分類討論；分類討論時(shí)，結(jié)合等腰三角形的“三線合一”及三角形的相似（或銳角三角函數(shù)）解決問題；通過作圖法尋找符合條件的等腰三角形；原三角形分類討論不太方便時(shí)，將三角形轉(zhuǎn)化為與其相似的三角形進(jìn)行分類討論.

【關(guān)鍵詞】等腰三角形綜合題中分類討論問題

綜合題中等腰三角形的分類討論問題是近年來中考的熱點(diǎn)，由于這類題目都與圖形運(yùn)動(dòng)有關(guān)，需要學(xué)生具有一定的想象能力、分析能力和運(yùn)算能力，對(duì)學(xué)生分析問題的能力要求較高，本文擬通過幾道中考試題加以分類解析，幫助學(xué)生體會(huì)這類問題的解題思路.

1.將三角形的三條線段長度（或長度的平方）分別用參數(shù)表示，再分類討論求解

例1 已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸.

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

分析與解

（1）（解答略）拋物線的解析式：y=-x2+2x+3.

（2）（解答略）P的坐標(biāo)（1，2）.

（3）拋物線的對(duì)稱軸為：直線x=1，設(shè)M（1，m），已知A（-1，0），C（0，3），則：

2.分類討論時(shí)，結(jié)合等腰三角形的“三線合一”及三角形的相似（或銳角三角函數(shù)）解決問題

例2 如圖3，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，點(diǎn)M在邊AB上，且AM=6.

（1）動(dòng)點(diǎn)D在邊AC上運(yùn)動(dòng)，且與點(diǎn)A，C均不重合，設(shè)CD=x.

①設(shè)△ABC與△ADM的面積之比為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量的取值范圍）；

②當(dāng)x取何值時(shí)，△ADM是等腰三角形？寫出你的理由.

（2）如圖4，以圖3中的BC，CA為一組鄰邊的矩形中，動(dòng)點(diǎn)在矩形邊上運(yùn)動(dòng)一周，能使△ADM為等腰三角形共有多少個(gè)？（直接寫結(jié)果，不要求說明理由）

圖 3 圖 4

分析與解

（1）（解答略）①y=2612-x（0

②由題意，AD=12-x，AM=6，AB=13.

（ⅰ）當(dāng)AD=AM=6， 12-x=6，即x=6時(shí)，△ADM為等腰三角形.

（ⅱ）當(dāng)AM=MD時(shí)，如圖5，過點(diǎn)M作MH⊥AD于點(diǎn)H，