數列教學中的數學思想方法

【摘要】在解決數列的問題中蘊含著許多重要的數學思想方法，主要涉及的思想方法有：函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、等價轉化思想、歸納猜想思想等等.在教學中適時運用，有利于提高學生的數學素養，起到事半功倍的作用 .

【關鍵詞】化歸與轉化思想；分類討論思想；函數與方程思想；數形結合思想

數學思想是數學學習和研究中解決問題的根本思想，是對數學規律的理性認識，是數學的靈魂，它具有本質性，概括性和指導性的意義，在解決數列的問題中蘊含著許多重要的數學思想方法，主要涉及的思想方法有：函數與方程思想，數形結合思想，分類討論思想，等價轉化思想、歸納猜想思想等等.在教學中適時運用，有利于提高學生的數學素養，起到事半功倍的作用 .

一、化歸與轉化思想

數學研究中，使一種研究對象在一定條件下轉化并歸結為另一種研究對象的思想稱為化歸與轉化思想.它體現在教學的解題中就是將問題變形，使之轉化，直至最終歸結為人們熟悉的或易于解決或已經解決的問題.在數列中許多問題都能根據這種思想得以解決.數列的求和問題可通過轉化為等差數列的等比數列的求和公式來求和，求數列的通項公式也是這樣，而數列的許多問題，如數列應用題，也是將它轉化為等差數列問題、等比數列問題、遞推關系的問題.

二、分類討論思想思想

分類討論思想的本質是邏輯劃分思想在數學中的一種具體表現.就按照一定的標準，把研究對象分成若干部分，分類討論是數學能力培養的重要部分，.運用分類思想解題，要特別注意導致分類的原因，才能恰當地進行討論證明.分類討論的思想在數列中的體現，主要就是表現在對字母范圍的討論上.由于字母范圍的不確定，從而使問題無法解決，例如涉及等比數列前n項和的問題，由于等比數列的前n項和與公比有關，在公比q=1時，Sn=na1，當q≠1時，Sn=a1（1-qn）1-q .所以必須對公式比進行討論.在涉及前n項和時，有時數列的次數不確定，從而導致和式變化；所以往往對項數n分奇數與偶數討論.在遞推關系中，若已知Sn與an的關系，一般地處理方式是再寫出Sn-1與an-1的關系，兩式作差相減，但必須討論n=1時的情況.

例3 求數列x+1y，x2+1y2，x3+1y2，......xn+1y的前n項的和.

分析略解 求此數列的前n項和可歸結為求公比分別為x和1y的兩個等比數列的前n項和，而在運用等比數列的前n項和公式時公比不能為1，故此題需要分為四種情況分類討論.

三、函數與方程的思想

數列本身就是一種函數，這種函數的自變量N+，即定義域是N+，從而表現在圖像上就是離散的點，數列具有單調性，例如等差數列（除去公差為0的情況），等比數列（如a1>0，q>1），因此研究數列問題，可以類比函數的一些性質來研究，用運動變化的觀點研究，例如數列中求某項的范圍問題，某個字母的范圍問題就可以利用函數的思想，轉化成求函數的值域問題，或解不等式.在等差、等比數列中，已知五個基本量中的幾個，來求另幾個時，往往是設基本量，建立方程或方程組來解決問題.

四、數形結合的思想

數形結合的思想在數列中，主要表現在將數列問題中數的問題轉化成函數上形的問題來解決.例如：等差數列通項公式an=a1+（n-1）d=d·n+（a1-d），是關于n的一次函數關系，因此當涉及等差數列單調性的問題時就可以利用直線的性質來解決，涉及等差數列前n項和最值的問題也可以用an≥0，an+1≤0或an≤0，an+1≥0處理.再如： Sn=na1+n（n-1）2d=d2n2+a1-d2n，是不含常數項的二次函數關系，因此它的前n項和的圖像就可以轉化成為利用二次函數圖像來解決數列的有關問題.

見例4

解法2 Sn=-32n2+2052n是關于n（n∈N*）的二次函數，由于二次項系數為-32，可知拋物線點列是開口向下的，則數列{an}是等差數列且公差d為負值，又因為點列的頂點橫坐標為-20522（-32）=2056=3416，故知數列從第35項開始數列{an}的項為負值.

當n≤34時，S′n=Sn=-32n2+2052n，當n≥35時，

S′n=S34+（S34-Sn）=2S34-Sn

=2-32×342+2052×34--32n2+2052n=32n2-2052n+3502.

故Tn=-32n2+2052n（n≤34）

32n2-2052n+3520（n≥35）

【參考文獻】

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