單調子列的存在性及其應用

【摘要】證明任何數列都存在單調子列，利用單調子列證明柯西收斂準則及聚點定理.

【關鍵詞】數列；單調子列；極限；聚點

【中圖分類號】 O171

【文獻標識碼】A

單調有界定理依賴于單調數列，單調子列的存在性是眾所周知的，這里的證明可以看作區間套思想的一個應用.

定義 設{an}是一個數列，若

則稱數列{an}（嚴格）單調遞增.相似的可以定義（嚴格）單調遞減數列.

定理 任何數列都有單調子數列.

證明 設{an}是一個數列，若{an}無上界，則存在n1，使得an1>1，又存在n2，使得an2>max{an1，2}，…，存在nk，使得ank>max{ank-1，k}，無限的做下去得到{an}的嚴格單調遞增子列{ank}.若{an}無下界，則相仿的可以得到一個嚴格單調遞減子列.

下設{an}有界，|an|≤M，n≥1.若數列的項僅有有限個數值，則很容易抽出單調子列.下設數列有無限個不同的項.任取an1∈（-M，M），

則[-M，an1]及[an1，M]這兩個區間當中至少有一個含有{an}的無限個不同的項，將其記為[x1，y1]，注意an1∈{x1，y1}.接著，任取an無限的做下去得到區間套{[xn，yn]}及子列{ank}，顯然{ank}{xn}∪{yn}.

所以數列{xn}及{yn}中至少有一個含有{ank}的無窮多項，將其抽出得到數列{an}的嚴格單調子列. 證完.

柯西準則 數列{an}收斂當且僅當對任何ε>0，N，當n，m>N時有|an-am|<ε.

證明 必要性顯然.下證充分性.首先數列有界，所以必有單調有界子列{ank}，由單調有界定理知{ank}有極限a，利用極限的定義知{an}收斂到a. 證完.

聚點定理 有界無限點集E至少有一個聚點.

證明 首先選出E的一個無限點列{an}，進而選出{an}的單調子列{ank}，則{ank}有極限a，利用極限的定義a是點集E的聚點.證完.

【參考文獻】

華東師范大學數學系.數學分析（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2001.