基于辛普森（Simpson）法的積分近似計算

【摘要】基于經典辛普森（Simpson）法，將擬合函數換為三次函數，利用待定系數法，通過復化方式得到定區間內f（x）的積分近似計算公式.最后，使用C++編程比較了與經典Simpson法的計算精度，說明以三次函數擬合的結果更精確.

【關鍵詞】Simpson法；待定系數法；積分計算；C++

經典的Simpson法，實質就是將自變量2n等分，針對每個區間進行二次函數的積分，最終對各子區間進行求和.為了進一步探討一重積分的近似計算，對于逼近函數的任意積分單元進行拓展，進行以下積分計算過程.

1.三次函數積分

將二次函數推廣為三次函數，將區間[a，b]進行4n等分.考慮到相鄰區間的曲線連續性，將擴展五個數據點構成一個單元區間，其擁有數據點為

則方程組可寫作常見的AX=b型矩陣式，A、X、b的矩陣式容易寫得，此處不贅述，這樣，根據原方程組等價于：ATAX=ATb，得到如下方程組：

以上方法完美地應用了待定系數法，這樣，對于四階以上的逼近函數，如果依舊使用這種方法，將使得求解更加困難，因此，不再增加單元函數的階數.

2.算例驗證

針對兩種積分近似計算的方法，選擇f（x）=sinx/x在[0，1]內的積分進行分別檢驗，使用C++獨立編程比較，計算結果如下表1.

由表中結果可見，使用三次函數進行逼近插值，將得到更加理想的積分結果.

3.結 論

本文根據發散思想，對Simpson法進行拓展，鑒于高階的積分近似計算的公式復雜性，一般計算中，使用二階的積分近似值公式就可以達到好的數值結果.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學 [M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 楊志明.計算方法及其MATLAB實現[M].西安：西安電子科技大學出版社，2009.