復(fù)化中點(diǎn)公式及其Euler Maclaurin展開(kāi)式

【摘要】本文介紹了中點(diǎn)求積公式及其截?cái)嗾`差，同時(shí)研究了復(fù)化中點(diǎn)公式的階段誤差以及EulerMaclarin展開(kāi)式，以此為基礎(chǔ)給出了相應(yīng)的Romberg求積方法，最后給出了數(shù)值算例以應(yīng)證算法的高效性.

【關(guān)鍵詞】復(fù)化中點(diǎn)公式；EulerMaclarin公式；Romberg求積公式

一、引 言

在科學(xué)工程計(jì)算中，經(jīng)常會(huì)碰到定積分的計(jì)算. 在大多數(shù)情況下，被積函數(shù)的原函數(shù)很難用初等函數(shù)表達(dá)出來(lái)，因此利用牛頓—萊布尼茨公式計(jì)算定積分的機(jī)會(huì)是不多的.另外，許多實(shí)際問(wèn)題中的被積函數(shù)往往只給出了一些點(diǎn)上的信息，此時(shí)也不能用不定積分的方式求解.鑒于以上原因，數(shù)值積分的理論和方法一直是計(jì)算數(shù)學(xué)研究的基本課題.常見(jiàn)的數(shù)值積分公式有復(fù)化牛頓—科特斯公式和高斯型求積公式.前者節(jié)點(diǎn)分布等距，但精度較差；后者采用不等距節(jié)點(diǎn)，準(zhǔn)確程度較高，穩(wěn)定性好.

本文著重介紹中點(diǎn)公式，該公式既可以看作是最簡(jiǎn)單的牛頓—科特斯公式，也可以看作是最簡(jiǎn)單的高斯型求積公式.它具有形式簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性好以及精確度高的特性.特別地，當(dāng)被積函數(shù)為周期函數(shù)時(shí)，它實(shí)際上就是簡(jiǎn)單平移節(jié)點(diǎn)后的梯形公式.本文考慮積分

I（u）：=∫bau（x）dx，

給出了復(fù)化中點(diǎn)公式的階段誤差，并推導(dǎo)了相應(yīng)的EulerMaclarin展開(kāi)式，以此為基礎(chǔ)討論了具有高精度的Romberg求積公式.

二、預(yù)備知識(shí)

2.1.中點(diǎn)公式