利用函數的圖像解讀其在不可導點的極值狀況

【摘要】本文介紹用觀察函數圖像的方法來理解其在不可導點的極值狀況.

【關鍵詞】函數；觀察圖像；不可導點；極值

在高等數學一元微積分的內容里，函數在某x點的連續性、可導性和函數在該點是否存在極值這三者有如下結論，即函數在某x點不連續則其在該點必不可導也無極值，因此本文僅就連續函數在不可導點的各種情形的極值狀況進行探討解讀.

在高等數學教材中判斷函數在某x0點的極值狀況時，主要是根據函數在x0點兩側臨近區域內其導數的正、負狀態來判斷函數在該x0點是否取得極值.又由于函數在某x點的導數值即為其曲線在該x點切線的斜率值，而某區間上函數在x點的極大（小）值即為函數在該x點鄰域內的最大（小）值，因此，根據導數理論和函數的極值概念，我們可以由函數曲線在不可導點x0兩側的切線與x軸的夾角情況，直觀地判斷出函數在x0點的極值狀況.下面用圖像進行解讀.

一、x0點處左導數與右導數都存在但不相等的情形

根據導數理論，下面將由不可導點x0鄰域內的、x0點左右臨近切線斜率的狀況，直接在各圖中給出函數極值的解讀結果 .

圖1中，函數在x0點的左導數和右導數都存在但不相等，即x0點是不可導點（f′（x0）不存在）.而由于在x0點臨近的兩側，切線斜率的正負值呈現出“左正右負”狀態，故f（x0）為極大值 .

圖2中，函數在x0點的左導數和右導數也都存在但不相等，即x0點也是不可導點.而由于在x0點臨近的兩側，切線斜率的正負值呈現出“左負右正”狀態，故f（x0）為極小值 .

圖3中，函數曲線在x0點的右側呈現直線形狀，且函數在x0點的左導數和右導數也都存在但不相等，即x0點是不可導點.而由于在x0點臨近的兩側，切線斜率的正負值呈現出“左正右負” 狀態，故f（x0）是極大值 .

圖4中，函數在x0點的左導數和右導數亦都存在但不相等，即f′（x0）不存在.而由于在x0點臨近的兩側，切線斜率的正負值呈現出“左負右也負” ，即“同負值”狀態，故f（x0）不是極值 .

下面各圖中，用圖1至圖四的分析方法，讀者可以自己得出圖中文字標示的極值結論 .

二、x0點處左導數與右導數中有一個不存在的情形

三、x0點處左導數、右導數都不存在的情形

在上面圖11、圖12中的x0點，函數的左導數和右導數均為無窮大（f′（x0-0）=∞、f′（x0+0）=∞），即該點是不可導點（f′（x0）=∞） .函數曲線的切線與x軸垂直，但在圖11的函數曲線上呈現出 ：x0點左側臨近的切線斜率大于0 ，x0點右側臨近的切線斜率小于0 ；故根據導數理論 ，f（x0）為函數的極大值 ；而在圖12中呈現出 ：x0點左側臨近的切線斜率小于0 ，x0點右側臨近的切線斜率大于0；故f（x0）為函數的極小值 .

四、實例解讀

下面再舉兩個實例來說明不可導點處切線斜率與函數極值的關系 .

例1 求函數 y2=x=-xx0xx≥0 的極值 .

由上面知，左導數和右導數均不存在，x = 0 是不可導點 .而由于在x = 0點臨近的兩側，切線斜率的正負值呈現出“左負右正”狀態，故f（0）=0=0 為極小值 .

例2、求函數 y=sinx x≤π23π-2x2π x>π2 的極值 .

由上面知，左導數和右導數不相等 ，x = π2 是不可導點 .而由于在x = π2 點臨近的兩側，切線斜率的正負值呈現出“左正右負”狀態，故fπ2=sinπ2=1 為極大值 .

在上面例一的求解中得到一個結論，即還可以直接利用不可導點處左導數和右導數正負符號是否相同，來判斷不可導點的極值狀況.如例一中，在不可導點處函數的左導數為負值而右導數為正值 ，故可以判斷例一中不可導點處的函數值為極小值 .但如果在不可導點處，左導數和右導數中有一個值為0 ，則不能根據不可導點處左導數和右導數正負符號的異同來判斷不可導點的極值狀況，這時需根據函數在x0點兩側臨近區域內其導數的正、負狀態，來判斷該x0點是函數的什么極值點.如例二的解答即說明這一點.

【參考文獻】

[1]楊海濤.高等數學（第二版）（上冊）[M].上海：同濟大學出版社，2010（93）.

[2]萬金寶.工程應用數學（第二版）[M].北京：機械工業出版社，2009（134）.

[3]蔣興國，吳延東.高等數學（經濟類）（第三版）[M].北京：機械工業出版社 2011（136）.

[4]陳光曙《大學數學》（第二版）（上冊）[M].上海：同濟大學出版社2010（82）.

[5]王曉宏.高等數學[M].北京：科學出版社2008（56）.

[6]柴惠文.微積分（第二版）[M].華東理工大學出版社，2010（101）.

[7]伍勝健.數學分析（第一冊）[M].北京大學出版社，2009（212）.

[8]孫旭東，肖業勝.應用高等數學（上冊）[M].長沙：湖南師范大學出版社2011（60）.

[9]龔友運，肖業勝，廖紅菊.工程應用數學（上冊）[M].武漢：華中科技大學出版社 2010（38）.

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