安全疏散模型研究

【摘要】學校是人員密集型場所，一旦發生火災、地震等突發事件時，如果不能快速安全地疏散師生員工，往往容易造成較大的人員傷亡.為加強各級學校的安全管理，確保火災、地震等突發事件發生時，安全疏散工作能迅速、高效、有序地進行，最大限度地減少人員傷亡和財產損失，維護社會穩定，本文以學校作為研究對象，建立了人員疏散的簡易數學模型，同時根據所假設的情形計算了全部人員安全撤離所用的時間，并結合實際，對模型進行了評價，給出了合理化建議.

【關鍵詞】人員疏散；逃生模型；撤離時間；數學模型

一、問題重述

眾所周知，學校的教學樓是學校內人員非常集中的場所，當發生地震、火災等事件時，教學樓內的人員能否迅速撤離是有關人身安全、社會穩定的大問題.如果在災害發生時，能有一套系統的逃生模型，將能最大限度地減少傷亡人數.基于此，我們以學校為研究對象，建立數學模型，計算出突發事件發生時人員的撤離時間.

假設某一天，某學校學生正在教室里上課，該學校只有一層，所有教室排成一行，教室分布在走廊的一側且走廊只允許一列人員通過，并且只有一個出口分布在這排教室的開頭或結尾.某天突然發生地震，建立出數學模型，按照某種撤離方案，給出全部人員安全撤離所用的時間，并結合實際，提出合理化的建議.

二、模型假設

1.樓道中無任何障礙物且只考慮一層樓的情形；

2.把靠近出口的教室記為第一教室，依次類推最后一個教室記為第k教室；

3.疏散時各間教室的人員排成一行有序行進；

4.所有人員在移動中速度相等，且始終保持同一速度行進；

5.所有人員在地震發生時反應時間相等；

6.所有人員在逃生過程中人與人間距始終保持一致；

7.把人看成質點，不考慮厚度；

8.所有人員在災難發生時始終向出口方向移動，不考慮中途返回的情況；

9.不考慮人與人之間的身體素質差異；

10.最后一間教室最后一人跑到出口，逃生才算完成；

11.計算全部人員跑出出口所需的時間.

三、符號說明

Li：第i間教室的長度

ni+1：第i間教室的人數

d：相鄰個體間距

v：移動過程中的速度，即逃生速度

t0：災難發生時反應時間

ti：有i間教室時的安全撤離時間

四、 模型建立及求解

1.一間教室的情形

將第一間教室的（n1+1）個人排成一條人鏈，已知人與人間隔為d，則人鏈長度為n1d，B點表示該間教室的出口，A點為樓門出口.現要計算所有人逃離出A點所用的時間，即只需計算人鏈的最后一個人跑到A處所用的時間.人鏈第一個人跑過教室的長度為L1，n1d+L1[]v為人鏈最后一個人跑到A的時間.跑動過程中所用時間（總路程/速度）+反應時間即為所求的安全撤離時間.因此一間教室的人全部安全撤離所用的時間為：t1=t0+n1d+L1[]v.

2.兩間教室的情形

與一間教室的情形相比，兩間教室的情況較復雜，此時需考慮第二間教室的人在B點是否需要等待.

因此分為兩種情況：

（1）在B點等待.

（2）在B點不等待.

（1）在B點等待

此時第二間教室的人跑到門口B，第一間教室的人還有沒跑出教室的，這樣兩間教室的人最后可形成一條不間斷的人鏈，人鏈長度為（n1+n2+1）d.人鏈第一個人跑過教室的長度為L1.跑動過程中所用時間（總路程/速度）+反應時間即為所求的安全撤離時間.此時等價于一間教室有（n1+n2+2）個人，長度L1的情況.由（1）可得：

（2） 在B點不等待

此時第二間教室的人跑到B，第一間教室的人都已跑出教室.此種情況以第二間教室的人為準，與第一間教室逃生無關，故只需計算第二間教室的人跑出A的時間.第二間教室形成的人鏈長度為n2d.人鏈第一個人跑過教室的長度為L1+L2.跑動過程中所用時間（總路程/速度）+反應時間即為所求的安全撤離時間.由（1）可得：

3.三間教室的情形

三間教室的情況更為復雜，需分別考慮在B，C兩點等待和不等待的情況，因此需要分別考慮以下四種情況：

（1）在C點等待，在B點等待.

（2）在C點等待，在B點不等待.

（3）在C點不等待，在B點等待.

（4）在C點不等待，在B點不等待.

下面說明在第（3）種和第（4）種情況下安全逃生的時間相等.

第（4）種情況：在B，C兩點不等待

此時第三間教室的人跑到C處，第二間教室的人都已跑出教室，且第二間教室的人跑到B，第一間教室的人都已跑出教室.此時以第三間教室為準，與第一、二間教室逃生情況無關.第三間教室的人所形成的人鏈長度為n3d，此時轉化為一間教室長度為L1+L2+L3的情況.由（1）可得：

第（3）種情況：在C點不等待，在B點等待

在C點不等待，第三間教室的人形成一條人鏈.我們只需考慮第三間教室的人跑出去的時間即可，人鏈長度n3d，人鏈第一個人跑過教室的長度為L1+L2+L3.跑動過程中所用時間（總路程/速度）+反應時間即為所求的安全撤離時間.轉化為兩間屋子的情況，運用（2）可得：

t3=t0+n3d+L1+L2+L3[]v.

綜上，（3）（4）兩種情況下的逃生時間相等.

下面具體說明各種情況：

（1）在B，C均等待

與兩間教室的第（1）個情形的思考方式相似，此時三間教室的所有人員可形成一條人鏈，由第一間教室的第一個人帶領后面的人跑出出口，人鏈中間沒有斷開.考慮人鏈長度為（n1+n2+n3+2）d.人鏈第一個人跑過教室的長度為L1.跑動過程中所用時間（總路程/速度）+反應時間即為所求的安全撤離時間.

（2）在C點等待，在B點不等待

利用兩間教室第（2）個情形的思想方法知，此時無需考慮第一間教室的逃生情況，只需計算第二、三間教室的所有人所組成的人鏈跑出出口的時間.人鏈長度為（n2+n3+1）d，人鏈第一個人跑過教室的長度為L1+L2.跑動過程中所用時間（總路程/速度）+反應時間即為所求的安全撤離時間.因而有：

（3）在C點不等待

利用兩間教室的情形（2）知，以第三間教室為準，只需考慮第三間教室的所有人員跑出出口的時間，即為：

4.推廣到k間教室的情形

第m間教室后的（k-m）間教室的人在其上一間教室門口都等待， 第m間教室的人在其上一間教室的門口無需等待，則無需考慮前m-1間教室的人在其上一教室是否等待.即當m∈[1，k].

tk=t0+（nm+nm+1+nm+2+…+nk+k-m）d+L1+…+Lm[]v.

由于人們在前（m-1）間教室門口不等待，所以無需考慮前（m-1）間教室人員的逃生時間，這時后（k-m+1）間教室的所有人可形成一條人鏈，人鏈長度為（nm+nm+1+nm+2+…+nk+k-m）d，人鏈第一個人跑過教室的長度為L1+…+Lm.跑動過程中所用時間（總路程/速度）+反應時間即為所求的安全撤離時間.

tk=t0+（nm+nm+1+nm+2+…+nk+k-m）d+L1+…+Lm[]v.

五、模型的不足

1.該模型過于理想化，在實際生活中很少有這樣分布的教室，假如只有一層我們通常不這樣建造，而是建造平房，每個班都有出口.因此在現實中教學樓中教室的分布更為復雜，其中涉及多個樓層、多個出口的情形.

2.現實生活中的許多實際因素都被忽略，如人們身體條件的差異、心理素質（逃生過程中中途返回的情況）和樓道寬度可允許多人并排通過等.

六、模型的優化

雖然該模型比較理想化，但是通過該模型的建立，我們可以代入相關數據，計算出撤離時間，并且可以調整班級人數從而縮短逃生時間，優化逃生方案.

我們根據前三間教室的情況，推廣到了k間教室.災難發生時的人員疏散問題是一項重要課題，所以有必要研究安全疏散模型問題，提供合理的逃生方案.我們把理想化模型一般化，基于實際情況，在人多的教學樓中，要設計多個樓道門.同時，學校應該定期組織學生進行疏散演練，讓學生熟悉逃生路線，以便在災難發生時， 能最大限度地減少人員傷亡.學校還可以根據模型來建造教學樓，設計出科學合理的走廊寬度、出口寬度等， 當災難發生時可以增加疏散隊列數， 從而減短整體的逃生時間.

【參考文獻】

姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型（第四版）.北京：高等教育出版杜，2011.