利用不定積分解決數學分析問題時的常見問題探討

【摘要】不定積分和定積分之間的關系是由微積分基本定理確定，因此定積分計算可以通過求該函數的不定積分來使運算更加簡便.不定積分是數學分析重要的學習內容，本文對利用不定積分解決數學分析問題時的常見問題進行探討.

【關鍵詞】不定積分；數學分析問題；常見問題

引 言

在微積分中，一個函數（包括原函數和反函數）f的不定積分是一個導數等于f的函數F，即F′=f.設F（x）是函數f（x）的一個原函數，函數f（x）的不定積分就是函數f（x）的所有原函數F（x）+C（C為任意常數），用∫f（x）dx或∫f來進行表示，即∫f（x）dx=F（x）+C.其中積分號為∫，被積函數為f（x），積分變量為x，被積式為f（x）dx，積分常數為C，求已知函數的不定積分的過程叫做對這個函數進行積分.利用微積分的基本定理，許多函數的定積分計算可以通過求該函數的不定積分來使運算變得更為簡便.不定積分是數學解析的重要學習內容，本文對利用不定積分解決數學分析問題時的常見問題進行探討.

1.運算中常漏掉“C”、“∫”

在利用不定積分解決數學分析問題時，常出現漏掉“C”的情形，這主要是由于對不定積分的概念不夠明晰、對“C”出現的意義不夠明晰、粗心大意等幾方面的原因造成的.如在求∫（x1/2-2）dx的過程中，出現這樣的錯解：∫（x1/2-2）dx=x0.5+1/（0.5+1）-2x=2/3x3/2-2x+C.為了使這類錯誤得以減少，在對學生進行教學時，要反復強調函數的不定積分是該函數的所有原函數，所有的原函數是通過一個原函數加上任意常數“C”體現出來的.對于漏掉“∫”的情形主要是由于對符號“∫”的意義不夠明了或者學生思維仍停留在初等數學的運算符號上而造成的.如求∫（x2+2）dx過程中，出現這樣的錯解：∫（x2+2）dx=x2dx+2dx=x3/3+2x+C.在教學過程中，要注意強調符號“∫”和有關運算法則，并通過相應的訓練，強化學生的基礎運算能力.

2.將求不定積分與求導混淆

在利用不定積分解決數學分析問題時，常出現將求不定積分當作求導來做的問題.造成這種錯誤的原因主要是對函數的求導概念和函數不定積分概念模糊，對不定積分的定義或不定積分公式的記憶出現誤差.如求∫（5x+2cosx）dx的過程中，出現這樣的錯解：∫（5x+2cosx）dx=5x/ln5-2sinx+C，求解過程中將求函數cosx的原函數誤解為求cosx的導數.為了避免學生將求不定積分當作求導來做，在教學過程中，要加強對定義、公式的基礎教學.從不定積分和求導的定義內容、形式等多方面進行比較，使學生明晰兩者之間的區別，同時可以配合相應的訓練，使學生能夠準確區分不定積分和求導兩者的運算.

3.錯誤運用公式

在利用不定積分解決數學分析問題時，常出現對公式∫1/xdx=ln|x|+C的錯誤運用，形成這類錯誤的主要原因在于對于公式模式特征的識別存在誤區.如在求∫1/sin2xdx過程中，往往由于對公式模式特征識別存在誤區，從而導致這樣的錯解：∫1/sin2xdx=lnsin2x+C.為了使這類錯誤得以避免，在教學過程中，需要引入基本積分公式時，要對公式作詳細的推導，使學生能夠準確識別公式的模式特征.在對題目進行解析時，要對題意進行仔細分析，使學生能夠準確識別所解問題與公式模式是否吻合，對于與公式模式不相符合的題目，則應采用其他方式進行解題，從而使學生在解決數學分析問題時能準確應用公式.

4.錯誤運用公式

在利用不定積分解決數學分析問題時常出現對公式∫xadx=xa+1/（a+1）+C（其中a≠-1）的錯誤應用，出現這類錯誤的主要原因在對冪函數積分公式的模式識別存在誤區，如在求∫cos3xdx的過程中，出現這樣的錯解：∫cos3xdx=1/4cos4x+C.從題目形式上來看，這道題目不能直接應用冪函數積分公式，只有將被積分表達式轉化為[（x）]ad[（x）]時，通過換元法，將問題轉化為冪函數積分問題.為了使學生能夠正確使用積分公式和換元思想解題，可以對學生提出要求，要求學生在寫出∫xadx=xa+1/（a+1）+C之后，利用換元法，寫出∫[（x）]ad[（x）]=[（x）]a+1/（a+1）+C；寫出∫1/xdx=ln|x|+C之后，再寫出∫d[（x）]/（x）= ln|[（x）|+C；寫出∫dx/（1-x2）1/2=arcsinx+C之后，再求出∫d[（x）]/（1-（x）2）.此外，在教學過程中，要強調換元法的目的，用換元及基本運算性質，將數學分析問題轉化為基本積分的形式，從而求出積分.

5 結 語

在利用不定積分解決數學分析問題時，其方法具有一定的靈活性，要達到利用不定積分解決好數學分析問題的目標，則應熟悉基本積分公式、基本運算性質以及靈活應用解題策略，通過利用代數或三角的恒等變形，對數學分析問題進行解決.