解析篩法和素數密度分布規律問題

【摘要】本文在對素數問題的研究中，將傳統的篩法變換了一下分析形式，并在分析運算中結合運用了一個在歷來的篩法分析中一直被忽略了的初等數學運算方法求最小公倍數法.以此運算方法為基礎，經過嚴密的理論分析、推導，最終得出一個以函數形式表示的自然數數列中任一點X之前（包括X點）的整個區域上素數的平均分布密度.

【關鍵詞】素數；篩法；素數分布密度

一、傳統篩法分析中存在的困難

在研究素數問題的若干方法中，篩法是最古老、最直觀而又用得最廣泛的方法之一，它具有最直觀、簡潔的特點，易于理解和運用.

可是，在分析篩法時，學者們發現在篩選過程中，有很多整數都有可能不止一次被重復劃掉，而這種現象也似乎是很不規則的.長期以來，這個問題直接影響到對篩選結果的進一步研究，一直困擾著學者們.從通常的篩選結果來看，素數的分布排列也似乎毫無規律可循，這就成了進一步深入解析的困難，一直困擾著學者們.

從很多分析研究來看，篩法確實是研究素數問題的一個極好的而且很簡單、直觀有效的方法.從歷來對篩選過程的簡單分析來看，篩法其實是一個有規律可循的方法，篩選過程其實也是一個很規律的過程.之所以我們沒有發現它的規律，是由于人們被傳統的簡單的分析篩選過程局限了，被素數排列表面上表現的不規則現象迷惑了.既然如此，我們為何不拓寬一下我們的分析思路和方法，看看篩選過程中有沒有我們忽略了的道理或分析方法呢？下面我們就嘗試變一下篩選方法來思考分析，看篩選可否產生一個有規律的（或者可以用公式表示的）結果.

二、篩法的化簡和公倍數原理在篩法中的應用

2是自然數數集中唯一一個特殊的偶素數，本文不予討論.自然所有的偶數（即2的所有倍數）也把它們篩掉，不予討論.

我們把奇數從自然數數集中分出來按順序排成奇數數列（1），這也即是我們分析中的被篩數列.

我們再把從3開始依次排列的每一個奇數（為便于后面的簡化分析、推導，我們暫假定未篩選前的所有奇數都為素數）的平方數分別作為一個數列的首項組成如下一系列不含素數的奇合數數列，并按首項數從小至大的順序編號排列如下：

上面這些奇合數數列即為我們分析中的篩子數列，這些奇數數列和每一個奇合數數列（K），其通項公式是：Kn=K^2+2（n-1）K，其中：K=1，3，5，7，…，n=1，2，3，4……

現在我們先從數列（1）中去掉與數列（3）中所有的數相同的數形成一個新數列.從這個新數列中我們看到，原奇數數列（1）中排在數列（3）的首項數前面的幾個奇數（3，5，7），都沒有任何除它們自身和1以外的約數，那么這幾個數自然確定全是從數列（1）中篩選出來的素數.

我們再依次從第一步篩選所形成的新數列中，去掉與數列（5）中所有的數相同的數，我們又看到，在數列（3）的首項數與數列（5）的首項數之間的區域內，新數列中所有留下來的數（11，13，17，19，23，）又全是素數.

余類推，我們發現，我們只要從數列（1）中一步步依次去掉每一個篩子數列中所有的數，我們就可以從每一個篩子數列的首項數與它前一篩子數列的首項數之間的區域內篩選出數列（1）在該區域內的全部素數.這樣遞推下去，我們就能簡單地逐級逐段篩選出整個奇數數列（1）中所有的素數.

從上面的篩選過程我們發現，對數列（1）依次進行的每一步（或每一層次）篩選，都是從該步篩子數列序號的平方數開始的，它的篩選效果也是從這個篩子數列序號的平方數開始表現出來的.為后面的分析敘述和推導計算方便，我們暫把任一奇合數數列（K）的首項數K^2至后一奇合數數列（K+2）的首項數（K+2）^2之間的這段區域（不包括（K+2）^2）稱為數列（K）的素數篩選段，這樣，每個奇合數數列（K）對應的素數篩選段長度就為（4K+4）.從奇合數數列（3）至奇合數數列（K）的每個素數篩選段長度依次遞增，公差為8，開始的第一素數篩選段，也即奇數數列（1）自身的素數篩選段，長度為8.

再進一步對前面我們篩選素數的方法進行分析得知：我們從自然數數集中分離出來的用于被篩選的奇數數列（1）和依次用來作為篩子的每一個奇合數數列都是等差數列.每一個等差數列中所有的數都是平均分布的，因此在每一個等差數列中，在大于或等于其公差的區域范圍內我們都可以判定至少存在一個實在的數.另外，在我們運用每一個篩子篩選奇數數列（1）中的素數時，有一個很重要、很關鍵的初等數學規律被忽略了，這就是我們很熟悉的求公倍數的方法.在我們運用篩法的過程中，我們設定的這一系列不同公差的被篩數列與篩子數列兩兩互相重疊合并進行篩選時，它們所有的數的第一次篩選和多次重復篩選怎樣分析，計算的問題（在這個過程中，產生重疊的數即理解為被篩掉的數）.實質上這是一個既繁復又簡單同時又是絕對有規律可循的問題.根據初等數學上求公倍數的方法，當我們把兩個不同公差（公差值互素）的被篩數列與篩子數列合并重疊進行篩選時，它們相同的數（即被篩掉的數）都是在它們公差的公倍數共同對應的點上絕對規律性的循環重疊（被篩掉）直至無窮大，最后結果，被篩數列中篩選剩下來的數絕對規律的排列組成下一步的被篩新數列.比如：公差為6的數列（3）與公差為10的數列（5）合并重疊時進行互相篩選的過程中，照此方法計算結果，在合并篩選區域內，數列（3）中將有1/5的數被數列（5）中的數合并重疊篩選掉，或者反過來說即數列（5）中將有1/3的數被數列（3）中的數合并重疊篩選掉，最后結果被篩數列中被篩選剩下來的數自然絕對規律的排列組成下一步的被篩新數列.這個數學規律就是篩法分析的理論基礎.具體多層次篩子數列對被篩數列的逐次連續篩選怎樣分析、計算，上面兩個等差數列互相篩選的數學規律將幫助我們解決這個困惑.下面我們就來一步步的分析、歸納、表述，最后得出素數在自然數數列中的分布規律.

三、素數在自然數數列中的真實分布規律

首先，我們綜合前面的分析方法和條件，對于自然數數集中（或數列中）任一自然數X，我們再定如下假設條件：

設：X=K^2，

則K≈X^（1/2）（K的值取X^（1/2）的整數部分，若X^（1/2）的整數部分的值為偶數則減去1）.

這樣我們就把求自然數數列（或奇數數列）中任一點X處素數的分布問題與研究相應點處的素數篩選問題聯系起來了.

結合前面我們分析、總結出來的篩選分析法則，根據初等數學上求公倍數的原理（或法則），當我們把第一個篩子數列（3）中所有的奇合數從被篩奇數數列（1）中對應去掉后，在數列（1）中，從9至正無窮區域中剩下來的奇數占了該區域內所有自然數總數的1/3，也即為該區域內所有奇數總數的2/3，它們的分布排列規律是在連續的每個量值為6的區域內排列兩個奇數，這兩兩相鄰排列的兩個奇數公差都為2，這些兩兩相鄰排列的奇數在尚未確定是否為素數前，我們可把它們暫時理解認定為都是規律排列的素數，這種條件下，從9至正無窮區域中每一個自然數X點處素數的平均分布密度為Sx=SK=S3=1/3（在本文分析討論中，我們把任意自然數X點處素數的平均分布密度設用SX來表示，把任一素數篩選段區域內每一個自然數對應點處的素數平均分布密度設用SK來表示）.當我們按前面篩選素數的方法確定出了數列（3）的素數篩選段后，在數列（3）的素數篩選段內的每一個自然數X點處，素數的平均分布密度就完全確定了，即Sx=SK=S3=1/3.

與前面分析同理，數列（1）在未進行篩選時，我們可把它的除1以外的所有奇數暫時理解認定為都是規律排列的素數，這種條件下，整個自然數數列中每一點X處素數的平均分布密度就為Sx=1/2.（特殊奇數1所引起的分析推導誤差忽略不計）這樣在數列（1）的素數篩選段內（3至8）素數的分布密度就為Sx=S1=1/2.

第二步，我們把從25至正無窮區域內第一步篩選結果剩下來的奇數分解看成是兩個公差都為6的數列，即：

數列25，31，37，43，49，55，61，67，…….

數列29，35，41，47，53，59，65，71，…….

現在我們再依次把所有和篩子數列（5）中相同的數從上面分解出來的兩個公差都為6的數列中去掉.這樣，在25至正無窮的區域內，在上面2個公差都為6的數列中，根據上面的篩選規則，分別在每個相連續的以30為公倍數的區域范圍內就將規律性的去掉一個奇數，最后結果，在25至正無窮的自然數區域中所剩下來的數，在每個公倍數為30的連續區域段內，就有8個規律性循環排列的暫時理解認定的素數.這一步（或這一層次）篩選的結果，這些暫時認定的素數在自然數數集中在25至正無窮區域內的平均分布密度就為：Sx=S5=S3×4/5=1/3×4/5=4/15.這是在第一步篩選的結果上遞減下來的平均分布密度值.當我們按前面篩選素數的方法確定了數列（5）的素數篩選段后，在數列（5）的素數篩選段內的每一個自然數X點處，素數的平均分布密度就完全確定了，即Sx=S5=S3×4/5=1/3×4/5=4/15.

再下一步，我們又把從49至正無窮區域內前面篩選結果剩下來的奇數仿上一步的方法分解看成是8個公差都為30的數列，即：

現在我們再依次把所有和篩子數列（7）中相同的數從上面分解出來的8個公差都為30的數列中去掉.這樣，在49至正無窮的區域內，在上面8個公差都為30的數列中，根據上面的篩選規則，分別在每個相連續的以210為公倍數的區域范圍內就將去掉一個奇數，最后結果，在49至正無窮的自然數區域中所剩下來的數，在每個公倍數為210的連續區域段內，就有48個規律性循環排列的暫時理解認定的素數.這一步（或這一層次）篩選的結果，這些暫時認定的素數在自然數數集中在49至正無窮區域內的平均分布密度就為：Sx=S7=S5×6/7=4/15×6/7=24/105.這又是在前一步篩選的結果上遞減下來的平均分布密度值，當我們按前面篩選素數的方法確定了數列（7）的素數篩選段后，在數列（7）的素數篩選段內的每一個自然數X點處素數的平均分布密度就完全確定了，即Sx=S7=S5×6/7=4/15×6/7=24/105.

前面的分析篩選方法和篩選結果，就像我們實際生活中在一塊很長的布料上印花的情形一樣：在一塊無限長的布料上（相當于自然數數列）印上若干種間距不同（互素）的花，每一種排印在布料上的花就像一個個篩子數列，整塊布料上所有的花從相同的起點開始排印完以后其形成的效果就和前面相對應的解析篩法的篩選結果完全相同，解析篩法的結果也從最后一步篩子數列序號數的后一位數開始作比較（篩子數列中的數相當于印在布料上的花，篩選后得到的素數相當于布料上留下來的空白點）.因此，簡單形象地說，我們不妨把前面篩法解析的原理稱作“印花原理”.整個“印花原理”從無窮大的自然數整體來看，每一級（或每一步）篩選結果，素數分布情形都有著極好的平均分布特性，這從后面我們簡單的檢驗對比中明顯可見.為方便后面的分析應用，在后面引用這個解析方法時，都簡稱為“印花原理”.

按上面所述的方法依次對每一步（或每一層次）篩選過程類推，當我們依次把所有從數列（3）至數列（K）的篩子數列中的奇合數都從被篩數列（1）中去掉，在任一級數列（K）的素數篩選段中的每一個自然數X點處的素數平均分布密度，我們就可按上面的方法分析推導出來.由此分析結果，我們就得出一個自然數數集中任一點X處的素數的簡化平均分布密度分析表達式（A）：

（其中：Sx 為自然數數列中任一點X處素數的簡化理論分析平均分布密度，a1，a2，a3，……，ak為除1以外從小至大依次排列的全部不大于X^（1/2）的奇數.）

在前面我們的分析篩選方法中，由于所有數列序號為奇合數的篩子數列都是重復數列，因此這類數列不能作為篩子數列，也不會產生篩選效果，在前面的分析中，我們為了分析、推導、表述簡便，所以仍依次按上述分析推導方法把它們假設加上去進行推導計算，這樣做實際上把我們的分析計算結果大大降低了（當然這樣的結果更形象，更有說服力）.當我們按真實效果把這類數列分離開，然后完全以素數的平方數為首項組成的篩子數列按前面的數學篩選方法分析、推導、計算，最后歸納總結出來的函數式就從理論上真實地表達了自然數數列中任一點X處素數的平均密度分布規律，函數表達式見（B）：

布密度，P1，P2，P3，……，PR為從小至大依次排列的全部不大于X^（1/2）的奇素數.）

我們再仔細分析一下前面整個解析篩選過程和最后得出的素數的這種梯級分區域段平均密度分布規律函數，我們看到，整個解析篩選過程中，若我們把每一步（或每一層次）對奇數數列的篩選都分開來看，實質上依次排列的每一步篩子數列的首項數都應該是從篩子序號數的3倍的數開始的，而依次進行的每一步篩選也都是從篩子序號數的后一位數開始的，所以，依次進行的每一步篩選后形成的循環分布規律也都是從篩子序號數的后一位數開始的，這是前面篩法的必然結果.在我們依次進行的多層次復合篩選中，因很多數重復篩選的原因，所以，依次進行的每一步篩選后的效果（潛藏的素數分布規律）都是從依次進行的每一步篩子序號數的平方數項開始體現的.這也是本文開始簡化設定每一層次篩子首項數的原因.下面依次列舉幾步復合篩選的結果即可一目了然地看到隱在復合篩選中的素數分布規律.

第一步，用篩子數列（3）對被篩數列（1）進行篩選后的分布排列結果：

第二步，用篩子數列（5）對被篩數列（1）進行復合篩選后的分布排列結果：

第三步，用篩子數列（7）對被篩數列（1）進行復合篩選后的分布排列結果：

（上面排列中一個括號內的數組成一個規律分布排列的循環節.）

上面這幾步示例很形象地把篩選效果和“印花原理”等效的統一起來了.

余類推，我們會看到，不管篩選進行到哪一步（或哪一層次）篩選變化結果都與上面示例一樣，但篩選效果（或潛藏的素數分布規律）卻是如前面解析的那樣，區別只是分析方式不一樣，結果都是統一的.

從上面的解析來看，依次進行的每一步篩選結果中，篩子序號數前面的區域相對于整個被完全篩選的區域（即該篩子序號數至下一步篩子序號數的平方數之間的區域）的比值愈往后愈小，完全可忽略不計，它們對解析、推導計算篩選規律的影響也可忽略不計.