自然數“235狀態”與素數的若干問題

【摘要】本文續接《素數的有效排除與素數沒有窮盡等問題》一文，根據素數2、3、5的有效排除作用，創建了自然數“235狀態”，對孿生素數沒有窮盡問題作出證明，從該狀態的分析淺談了對有關素數若干問題的看法，提出了有關素數問題的若干猜測及破解哥德巴赫猜想的新思路.

【關鍵詞】素數；孿生素數；有效排除作用；自然數“235狀態”；沒有窮盡

“孿生素數猜想”、“素數等差數列”，這些都是素數的有關問題.筆者認為，只要將這些問題置于自然數“235狀態”去研究、作分析，是可以找到正確答案的.

一、自然數“235狀態”與新生素數、孿生素數、四子孿生素數

1.自然數“235狀態”

定義1 自然數原始狀態是指自然數按“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10……”次序排列，沒作任何改動的原本情形.

定義2 自然數“235狀態”是指自然數原始狀態在經將可被素數2、3、5整除的自然數排除出去（即篩選）之后形成的情形.

定義3 孿生素數是新生素數的組成部分，是指“6×m±1”等式中同一個等式的兩個得數，且此兩個得數同是非合數的自然數.如素數5與7是同為“6×1±1”等式的兩個非合數的得數，又如素數29與31是同為“6×5±1”等式的兩個非合數的得數.孿生素數簡稱為“孿素”.

定義4 四子孿生素數是指4個其他位數數字相同，而個位數依次為“1、3、7、9”的非合數的自然數.四子孿生素數也是相連的兩個“6×m±1”等式的4個同為非合數的得數.如素數11、13、17、19是 “6×2±1”和“6×3±1” 兩個相連等式的4個同為非合數的得數.四子孿生素數又稱為“連組孿生素數”，簡稱為“四子孿素”.

為精簡篇幅，本文將“起到有效排除作用的素數”簡稱為“起效素數”， “擴延范圍”簡稱為“擴圍”.

在素數中，2是首位素數，3是首位奇素數，5是首位新生素數.從素數的有效排除力來說，2、3、5是排在前3位的素數.

自然數“235狀態”是指自然數原始狀態在經將可被素數2、3、5整除的自然新生素數排除出去（即篩選）之后形成的情形，是新生素數整體格局的雛形.為此，請看自然數（5至310部分）“235狀態”依序排列表（表1）.

從自然數“235狀態”表看出，以30個自然數為1個擴圍單位，30個自然數中有22個被排除（即篩選）.盡管如此，所剩留下的自然數的個位數為“1、3、7、9、3、9、1、7”這樣一種格局有序排列.

2.自然數“235狀態”與新生素數、孿素、四子孿素的特征

現將表1在自然數的右側旁添上“6×m±1”等式，并對素數標上“☆”符號，見表2：

表 2

從表2看出，“235狀態”的各自然數均可以“6×m±1”等式表達出來，在“235狀態”的自然數中，隨處可見新生素數、孿素、四子孿素的蹤影，并尋找到它們的特征和發現有關素數的若干規律.

如新生素數的特征，其必定是“6×m±1”等式中的一個得數，且這個得數須是非合數的自然數.

孿素的特征，其必定是“6×m±1”等式中同一等式的兩個得數，且這兩個得數須同是非合數的自然數.

四子孿素的特征，其必定是相連的兩個“6×m±1”等式的4個得數，且這4個得數須同是非合數的自然數.

總而言之，新生素數、孿素、四子孿素，均與兩個原生素數2與3的乘積“6”有著密切關系，孿素、四子孿素是新生素數的組成部分，新生素數包含孿素、四子孿素.

鑒于孿素的特征及孿素與新生素數的內在聯系，筆者認為，把相差為2的素數定之為孿素的條件或標準，不符合“孿生”的真正含義.所謂“孿生”，是指同一胎生的“雙生兒”.引申到數學上來說，它應是指產生于同一個等式的2個得數.據此，筆者不認同把相差為2的素數定之為孿素的條件或標準，不認同把3與5定之為同對孿素.對于后一個不認同，其理由有三：其一，3與5不具備“同一個等式的2個得數”這一孿素的特征；其二，3是原生素數，5是新生素數，兩個素數產生條件不同；其三，如把3與5定之為同對孿素，又把5與7定之為同對孿素，5介于兩對孿素之中，有“兩個母親”之嫌，不符合常理.

3.“235狀態”與孿生素數沒有窮盡的問題

孿生素數沒有窮盡的問題，是數學家波林那克于1849年提出的，其猜測存在無窮多對孿生素數.人們將此稱之為“孿生素數猜想”.

筆者研究結果表明，孿素是沒有窮盡的，四子孿素也是沒有窮盡的，兩者沒有窮盡的過程始終與自然數沒有窮盡的過程同存相隨.

（1）對孿素沒有窮盡問題的證明

對孿素沒有窮盡問題的證明，其方法與前文證明素數沒有窮盡問題的方法相同，但可置于兩種設置不同的擴圍來驗證，一種是以單個起效素數為依據設定的擴圍（見表3），一種是以起效孿素為依據設定的擴圍（見表5）.

（2）以單個起效素數為依據設定的擴圍的驗證結果

以單個起效素數為依據設定的擴圍，與前文的證明素數沒有窮盡問題而設定的擴圍同，但驗證擴圍的孿素對數的依據是兩素數的差.因為這里要證明的是兩素數平方之間的孿素的量（對數）.經對前50個擴圍（以10個擴圍為1個階梯）存在孿素情況作分析，發現擴圍的孿素對數與兩素數的差有著一定聯系（見表4）.從表3、表4看出，第1階梯擴圍的孿素對數最低的是等于兩素數的差，如序號為1、2、3、4、7、8、10的擴圍.續后的第2、3、4、5階梯的孿素量最小的擴圍，其存在孿素對數以兩素數的差的1.5倍、2倍、2.5倍、3倍的規律有序逐增.可見，隨著自然數的不斷擴延，孿素在量上呈逐增之勢，孿素有無窮多對，不可窮盡.

（3）以起效孿素為依據設定的擴圍的驗證結果

以起效孿素為依據設定的擴圍的驗證方法，即是遵循自然數循序逐增的規律，將“前一對孿素的前素數的平方起至下一對孿素的前素數的平方減去1”定為擴圍單位，在新增1對起效孿素后，加之其他單個素數的有效排除，對此擴圍新增孿素的情況進行驗證，如果每個擴圍都有若干孿素產生，并呈逐增之勢，那么，則證明隨著自然數沒有窮盡的擴延，孿素在量上有無窮多對，不可窮盡.如果擴圍的孿素在數量上出現趨減之勢，或連續多個擴圍無孿素產生，那么，則證明隨著自然數的不斷擴延，孿素于某個高位自然數起有可能窮盡.為此，請看表5.

表5是孿素5、7至孿素311、313各擴圍新增孿素的情況統計表.

從表5看出，隨著自然數的不斷擴延，起效孿素雖循序逐增，但擴圍新增的孿素在量上是呈逐增之勢.事實1，每個擴延范圍產生孿生素數的對數≥兩對孿素之間的差；事實2，孿素越大，其自然數的擴圍越大，產生孿素的對數就越多；事實3，不可思議的是，每對孿素的平方間隙，存在孿素的對數≥同對孿素的差2.

綜上所證，得出結論，隨著自然數的不斷擴延，孿生素數成對產生，有無窮多對，不可窮盡，孿素沒有窮盡的過程始終與自然數沒有窮盡的過程同存相隨.

4.“235狀態”與四子孿素沒有窮盡問題

從“235狀態”自然數等式表中看出，四子孿素是相連的兩個“6×m±1”等式的4個同為非合數的得數，亦可理解為不存在合數的“四子自然數”.從“235狀態”自然數中看出，依序每30個自然數中就存在1組“四子自然數”，“四子自然數”是沒有窮盡的.那么，四子孿素會不會窮盡呢？對此，筆者依照證明素數沒有窮盡的方法予以證明.請看表6.

從表6看出，兩組四子孿素的差越大，其擴圍就越大，其擴圍存在四子孿素的組數就越多.由此得出結論：隨著自然數的不斷擴延，四子孿素在量上呈逐增之勢，有無窮多組，不可窮盡.此證.

5.總的結論：四子孿素、孿素、素數與自然數同存相隨

綜上證明，得出總的結論：四子孿素、孿素、素數與自然數同存相隨.

對此結論，我們可根據四子孿素、孿素、素數、自然數此四者存在的內在聯系，應用逆向思維作這樣推理：假如四子孿素可窮盡，那么，孿素也必將窮盡；假如孿素可窮盡，那么，素數也必將窮盡；假如素數可窮盡，那么，自然數也必將窮盡.因為，自然數是不可窮盡的，所以，與自然數同存相隨的四子孿素、孿素、素數也是不可窮盡的.

二、 “235狀態”與素數等差數列

等差數列是數列的一種.由素數組成的數列稱為素數等差數列.例如“11，71，131，191，251，311”是一組任意值K為6、等差為60的素數數列.筆者將素數等差數列置于“235狀態”的自然數去分析，得出如下觀點（或叫結論）：

觀點1 等差為2、為4、為8的素數數列，任意值K最高為3.因為等差為2的素數數列，除了“3，5，7”此組任意值K為3的素數數列之外，等差為4的素數數列，除了“3，7，11”此組任意值K為3的素數數列之外，等差為8的素數數列，除了“3，11，19”此組任意值K為3的素數數列之外，在“235狀態”的自然數中，均不存在任意值K為3、等差為2、為4、為8的自然數.

觀點2 從分布于素數的密度來說，等差為2的素數的密度最高，等差為6、為12的則次之.

觀點3 等差為2、4、6、8以及等差的個位數為2、4、6、8的素數數列，其任意值K均不可能大于5.因為，個位數為1、3、7、9的素數，不論是加2，還是加4或加6、加8，連加次數于5之內，必遇到個位數為5的合數，其任意值K至此“封頂”.

例證1 個位數為7的素數，連加4個2之后，其得數必是個位數為5的合數：7+2+2+2+2=15；37+12+12+12+12=85.

例證2 個位數為1的素數，連加4個6之后，其得數必是個位數為5的合數：11+6+6+6+6=35；31+26+26+26+26=135.

觀點4 等差為“2×3×5”之積30以及30的倍數（如60、90、150、210）的素數數列，其任意值要大于其他等差的素數數列，即使如此，等差為30的倍數的素數數列，其任意值K也是有限的.

三、張爾光有關素數的若干猜測

猜測1 哪些梅森素數有可能是孿素的親兄弟

梅森素數是指形如2^P-1的正整數，其中指數P是素數，常記為MP.若MP是素數，則稱為梅森素數.截止2013年3月，人類僅發現48個梅森素數.筆者產生“哪些梅森素數有可能是孿素的親兄弟”的想法，理論依據是孿素是素數的組成部分，并與素數同存相隨，因此，某些梅森素數-2有可能是素數，以至成為同對孿素.事實依據是，經本人以“235狀態”的自然數反映出來的規律等式“6×m±1”，對第3個至第12個梅森素數進行分析，認為個位數為1、等式為“6×m的個位數為5的自然數±1”的梅森素數有可能是孿素的親兄弟.至于有幾個是孿素的親兄弟，筆者無能力驗證，只好留給興趣者找答案了.

猜測2 兩組等差為30的“四子孿素”是否會窮盡

“四子孿素”是沒有窮盡的，但兩組等差為30的“四子孿素”是否會窮盡？筆者提出這個問題，是在于：本人的研究結果表明，在“235狀態”的自然數表中，“四子自然數”每間隔30就出現一組，完全沒有間斷，可在素數表中，兩組等差為30的“四子孿素”稀少又稀少，經筆者對1至1000萬的素數驗證，僅有4處兩組等差為30的“四子孿素”.第一處是“1006301，1006303，1006307，1006309”與“1006331，1006333，1006337，1006339”；第二處是“2594951，2594953，2594957，2594959” 與“2594981，2594983，2594987，2594989”；第三處是“3919211，3919213，3919217，3919219”與“3919241，3919243，3919247，3919249”；第四處是“9600551，9600553，9600557，9600559”與“9600551，9600553，9600557，9600559”.第四處與第三處的間隙為568萬多.如此現狀，無疑給人一種擔憂：當自然數擴延到高位數時會不會窮盡？當然，筆者的答案是：其與“四子孿素”一樣不會窮盡，只是前后兩組等差為30的“四子孿素”的間隙有多大的問題.這僅是筆者的猜測，有待興趣者們拿出實例給予支撐.

猜測3 素數與自然數的比率應有一條不可逾越的底線

素數沒有窮盡的過程始終與自然數沒有窮盡的過程同存相隨.這既體現在無窮大的數上，也體現在無窮多個的量上.而量上的同存相隨，又反映在兩者的比率上.據此，筆者認為，素數與自然數的比率應有一條不可逾越的底線.也就是說，即使自然數無限擴延，素數與自然數的比率不低于這個百分比數.筆者根據素數的有效排除力推測，素數與自然數的比率不低于1%，亦即素數的有效排除力總和為小于98.9%.

四、破解哥德巴赫猜想之拙見

任何一個大于6的偶數都可以表示為兩個素數相加之和.這就是著名的哥德巴赫猜想.哥德巴赫猜想該如何破解，我國數學家陳景潤已證明的“1+2”的方法是一條破解之路.筆者認為，除此之外，應還有別的破解之路.

對哥德巴赫猜想的破解，憑筆者的直觀理解是，哥德巴赫猜想表達的是1個偶數與2個素數之間的關系，如能尋求出一個能夠反映素數共同特征的式子，任何一個偶數又能表示為這兩個式子的相加之和，那么，哥德巴赫猜想就能夠由猜想變為一種數學證明.

“235狀態”的自然數等式表告訴我們，任何一個大于3的素數必定是“6×m±1”等式中的一個得數.筆者研究結果表明，任何一個大于8的偶數可表示為：n=（6×m1±1）+（6×m2±1） （式中n>8）.

請看下列等式：

筆者自知，本人的這個“1+1=1”的式子，表達的是任何一個大于8的偶數都可表示為兩個素數相加之和.且這個“1+1=1”等式，比那直觀的“1+1=1”等式僅是前進了一步的等式，并非是真正破解哥德巴赫猜想這個意義上的“1+1=1”等式.筆者在此表達自己的見解，目的在于拋磚引玉，希望研究者們能從本人的“1+1=1”等式中，悟出偶數、素數與“（6×m±1）”等式中m此三者關系，并以代數等式（即為真正意義上的“1+1=1”等式）表達出來，摘取此頂數學“皇冠”.倘能如此，筆者足矣樂哉.