2013年中考數學壓軸題動點問題之一

“動點問題”是指題設圖形中存在一個或多個動點，它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.通過點的運動，探究圖形有關性質和圖形之間的數量關系、位置關系等，常結合圖形面積、存在性問題等考查.近幾年，各地的中考試題在知識得應用性、開放性和多樣性上均有增強，而在壓軸題上體現的尤為明顯，動點問題正是把觀察、操作、探究、計算融合在一起，蘊含著函數、方程、分類、轉化、數形結合等重要的數學思想方法，所以一直是中考熱點.現結合2013年幾例中考壓軸題，探究由動點產生的圖形的存在性問題.

一、由動點產生的直角三角形的存在性問題

例1 （2013湖北黃岡第24題 本題15分） 如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCO是梯形，其中A（6，0），B（3，3），C（1，3），動點P從點O以每秒2個單位的速度向點A運動，動點Q也同時從點B沿B→ C →O的線路以每秒1個單位的速度向點O運動，當點P到達A點時，點Q也隨之停止，設點P，Q運動的時間為t（秒）.

（1）求經過A，B，C三點的拋物線的解析式；

（2）當點Q在CO邊上運動時，求△OPQ的面積與時間t的函數關系式；

（3）以O，P，Q為頂點的三角形能構成直角三角形嗎？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由；

（4）經過A，B，C三點的拋物線的對稱軸、直線OB和PQ能夠交于一點嗎？若能，請求出此時t的值（或范圍）；若不能，請說明理由.

滿分解答

點評 （3）本小題是雙動點問題，考查的是直角三角形的存在性，分析時應考慮哪個頂點處可以構成直角，還要注意點的運動路線、速度.狀態轉折點（通常是折線轉折處）也是關鍵點，分析時要特別注意.

二、由動點產生的平行四邊形的存在性問題

易知，當x=32時，四邊形ABPC的面積最大.此時P點坐標為（32，-154），四邊形ABPC的最大面積為758.10分

點評 （2）本小題考查的是由動點產生的菱形的存在性，解決本題的關鍵是熟練掌握菱形的性質，即菱形的四條邊都相等，對角線互相垂直平分.結合圖形，本題應不難解決.

總之這類問題綜合性強，能力要求高，它能全面地考查學生的實踐操作能力、空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力. 在解題思想上應重視對數形結合思想、分類討論思想等的靈活運用.