如何看待高中課程中“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入”部分的數(shù)學(xué)分析與教育價(jià)值

【摘要】《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確了高中階段數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入部分的要求是：在問(wèn)題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程，體會(huì)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程求根）在熟悉擴(kuò)充過(guò)程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系；理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件；了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.那么，在高中階段，如何把握好其數(shù)學(xué)分析與教育價(jià)值呢？本人有幾點(diǎn)意見(jiàn)供大家參考.

【關(guān)鍵詞】高中課程；數(shù)系擴(kuò)充；復(fù)數(shù)引入；數(shù)學(xué)分析；教育價(jià)值

一、數(shù)學(xué)分析

（一）數(shù)系的擴(kuò)充是由數(shù)學(xué)實(shí)際需求和內(nèi)部矛盾發(fā)展所產(chǎn)生的

數(shù)的概念是從實(shí)踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的.早在人類社會(huì)初期，人們?cè)卺鳙C、采集果實(shí)等勞動(dòng)中，由于計(jì)數(shù)的需要，就產(chǎn)生了自然數(shù)；隨著生產(chǎn)和科學(xué)的發(fā)展，數(shù)的概念也得到了發(fā)展：為了解決測(cè)量、分配中遇到的將某些量進(jìn)行等分的問(wèn)題，人們引進(jìn)了分?jǐn)?shù)；為了滿足計(jì)數(shù)需要和表示具有相反意義的量，人們引進(jìn)了負(fù)數(shù)；為了解決開(kāi)方開(kāi)不盡的矛盾，人們引進(jìn)了無(wú)理數(shù)；在解方程時(shí)，為了使負(fù)數(shù)開(kāi)平方有意義，人們就引進(jìn)了虛數(shù)，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域.自然數(shù)集中，“+”滿足其封閉性，為了讓“-”滿足其封閉性，將自然數(shù)擴(kuò)充為整數(shù)；為了讓“÷”滿足封閉性，將整數(shù)擴(kuò)充為有理數(shù).為了將極限運(yùn)算滿足封閉性，將有理數(shù)擴(kuò)充為實(shí)數(shù).在歷史上，解代數(shù)方程時(shí)遇到了負(fù)數(shù)，由于負(fù)數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能開(kāi)平方，因此產(chǎn)生了疑惑，為了滿足開(kāi)方運(yùn)算封閉性，將實(shí)數(shù)擴(kuò)充為了復(fù)數(shù).直到后來(lái)把復(fù)數(shù)用于二維坐標(biāo)平面上的向量表示，定義了向量的乘法，才使復(fù)數(shù)有了明確的定義和意義.可以說(shuō)負(fù)數(shù)是起源于代數(shù)，成熟于幾何，是代數(shù)與幾何的結(jié)合體.數(shù)的產(chǎn)生是伴隨數(shù)學(xué)的內(nèi)部發(fā)展而產(chǎn)生的.復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)中起著重要的作用，除了上述的代數(shù)基本定理外，還有“實(shí)系數(shù)的一元n次方程虛根成對(duì)出現(xiàn)”定理等，特別是以復(fù)數(shù)為變量的“復(fù)變函數(shù)論”，是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要分支.

（二）復(fù)數(shù)的三種表達(dá)形式

復(fù)數(shù)的代數(shù)定義為兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y的代數(shù)式x+yi，或有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），復(fù)數(shù)的加法和乘法由純粹的代數(shù)式定義.復(fù)數(shù)定義的第一種形式，由于i的意義無(wú)法事先說(shuō)明，因而不夠嚴(yán)密.復(fù)數(shù)定義的第二種形式由于沒(méi)有加號(hào)而顯得有些抽象，實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，這種幾何表示對(duì)于理解實(shí)數(shù)的概念起到了非常重要的作用.設(shè)i=（0，1），利用復(fù)數(shù)加法和乘法的定義，可以把復(fù)數(shù)z=（x，y）表示成常用的代數(shù)形式

有了復(fù)數(shù)的幾何概念，復(fù)數(shù)概念就可以講得清楚了，隨之也就有了虛數(shù)的說(shuō)法.我們?cè)趯W(xué)習(xí)實(shí)數(shù)的時(shí)候，用直角坐標(biāo)系中x軸上的點(diǎn)表示，這樣x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)（x，0）就表示實(shí)數(shù)x，類似地可以把平面上的每一個(gè)點(diǎn)（x，y）稱為一個(gè)復(fù)數(shù)，x軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù).復(fù)數(shù)還可以用向量表示，因?yàn)槠矫嫔系狞c(diǎn)還可表示從原點(diǎn)指向它的向量.復(fù)數(shù)的加減法按向量的加減法定義，復(fù)數(shù)的乘除法對(duì)向量來(lái)說(shuō)是一種新的運(yùn)算，是復(fù)數(shù)和向量的主要區(qū)別.實(shí)數(shù)a和復(fù)數(shù)相乘按向量和數(shù)的乘法定義是合理的，即a×（x，y）=（ax，ay）.

為了引入復(fù)數(shù)的乘法，把復(fù)數(shù)z用三角形式來(lái)表示z=r（cosθ+isinθ），可以把復(fù)數(shù)的三角形式確定點(diǎn)的方法引入極坐標(biāo)系，常用（r，θ）表示，r稱為復(fù)數(shù)z的模，θ稱為復(fù)數(shù)z的輻角，記為argz=θ.兩個(gè)正數(shù)相乘，兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘，一個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)相乘，一個(gè)正數(shù)和一個(gè)復(fù)數(shù)相乘，一個(gè)負(fù)數(shù)和一個(gè)復(fù)數(shù)相乘，可以發(fā)現(xiàn)它們都滿足模相乘，輻角相加的規(guī)律，因此，定義兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘的規(guī)則為模相乘，輻角相加；定義兩個(gè)復(fù)數(shù)相除為模相除，輻角相減，即設(shè)z1=（r1，θ1），z2=（r2，θ2）是兩個(gè)復(fù)數(shù)，則定義z1z通過(guò)它們的相互轉(zhuǎn)化，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)部是如此的和諧統(tǒng)一，能夠充分感受到數(shù)學(xué)的美.需要向老師說(shuō)明的是，高中階段復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)只需代數(shù)形式，其他表達(dá)方式不作要求.

（三）復(fù)數(shù)在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中都有著廣泛的用途

隨著人們對(duì)復(fù)數(shù)研究的不斷深入，關(guān)于復(fù)數(shù)的學(xué)科已成為數(shù)學(xué)的重要分支之一，隨著它的領(lǐng)域的不斷擴(kuò)大而發(fā)展成龐大的一門(mén)學(xué)科，在自然科學(xué)其他（如空氣動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)、理論物理等）及數(shù)學(xué)的其他分支（如微分方程、積分方程、概率論、數(shù)論等）中，復(fù)數(shù)都有著非常重要的應(yīng)用.

二、教育價(jià)值

“數(shù)系的擴(kuò)充及其復(fù)數(shù)的引入”的教育價(jià)值體現(xiàn)在：

（1）數(shù)系擴(kuò)充的過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過(guò)程，同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的客觀需要，復(fù)數(shù)引入實(shí)現(xiàn)了中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充，其實(shí)我們?cè)诒匦?學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的時(shí)候就已經(jīng)經(jīng)歷了一次指數(shù)的擴(kuò)充，指數(shù)可以擴(kuò)充為任意的整數(shù)、分?jǐn)?shù)、有理數(shù)和無(wú)理數(shù).現(xiàn)又通過(guò)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)理論產(chǎn)生與發(fā)展的過(guò)程，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)發(fā)展既有來(lái)自數(shù)學(xué)外部的實(shí)際需求，也有來(lái)自數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯規(guī)律，從而形成正確的數(shù)學(xué)觀.

（2）復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)是非常有用的，它代表數(shù)學(xué)發(fā)展的方向，給運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決一些問(wèn)題增添了一些工具.在數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用，比如能為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)、復(fù)變函數(shù)、數(shù)學(xué)分析等打基礎(chǔ)；在其他學(xué)科中也有廣泛的應(yīng)用，如物理中的交流電、光學(xué)、力學(xué)中的一些問(wèn)題等都有廣泛的用途，在實(shí)際生活中也有廣泛的用途.