從“弧度制”一課看數學史在教學設計中的作用

摘 要 在高中數學課程的學習中，弧度制是一個全新的概念，但在一般教學中對此概念的引入上，卻總是顯得“重結果，輕過程”，使得學生并不能真正對此概念得到全面理解。本文通過結合相關的數學史知識，對此概念的引入作了一個教學設計和論述，并對所用的數學史知識予以簡介，進而說明數學史對數學課堂教學的借鑒意義及其價值。

關鍵詞 弧度制 角度制 度量單位 數學史

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A

0 引言

在北師大版高中數學教材必修四第一章《弧度制》一節中，我們要求學生掌握的知識與技能目標是：（1）理解1弧度的角及弧度的定義；（2）掌握角度與弧度的換算公式；（3）熟練進行弧度與角度的轉換；（4）理解角的集合與實數集R之間的一一對應關系；（5）理解并掌握弧度制的弧長公式、扇形面積公式，并能靈活應用這兩個公式解題。因此，在課堂上，首先通過單位圓的圓心角引入弧度的概念，從而讓學生理解1弧度角的概念。整節課雖說都在進行弧度與角度之間的換算或應用，但是，有一個首要問題學生是不明白的：我們有了角度制，為何還需要引入弧度制？

在本節課的學習之后，學生只能是囫圇吞棗，僅僅是在腦海里多了一個弧度制的干巴巴的概念，卻并不明白自己學習該節課的意義所在，即不明白弧度制的意義究竟是什么。如果學生不清楚所學的東西究竟意義何在，那么，這樣的一節課就可以說是一節很失敗的課了。然而，究竟該如何改進，才能讓其變為對學生而言的一節有實質意義的課呢？

1 弧度制的引入

這樣的課之所以失敗，是因為我們并沒有讓學生意識到學習弧度制的意義。那么，要弄清楚弧度制的意義就需要我們追本溯源，利用數學史的知識從弧度制的基本思想入手對其進行分析。

基于歷史的教學案例設計，一般是在教學環境中再現概念產生的背景和動機，從而使學生能以最自然的方式接受概念。從歷史的演變看，在弧度制的教學中，首先要抓住從弧長的計算發展到量角制度的轉變這一關鍵點，在弧與角之間建立一一對應。作為教師應該清楚，用統一的方式量弧長與半徑單位的思想，是建立弧度制的精髓。

首先，引入認知沖突。在30€？1/2中，30的度量單位（六十進制）和1/2的度量單位（十進制）不同，由此激發學生的思考；其次，復習角度制。在平面幾何里，我們把圓周分成360等份，每一份叫做1度的弧，把1度的弧再細分得到分和秒。1度的弧所對的圓心角叫做1度的角。根據這個定義，整個圓周就是360度的弧，即圓周長是360度，1度=60分，由周長公式可以計算出圓的半徑是360€？0€？€%i = 分≈3438′。這種做法是用圓周的度量單位度量半徑，但說半徑是多少度、分、秒是很別扭的。為了消除這種別扭，能否反過來用半徑的度量單位來度量圓周長呢？然后，與角度制作對比。無論圓周有多長，在角度制里，我們總把它分成360份。由 = 2，得到 = 2，可以發現，若以半徑長為單位度量圓周，則無論圓周長如何都只能分成2個單位，在這一點上，它和角度制“無論圓周長如何，都是把圓周分成360個單位”是一樣的。最后，便可以與角度制類比，定義出1弧度的角。即以半徑為單位，把圓周分成份，每一份弧所對的圓心角就是1弧度的角。這時，每一份的弧長就是半徑長。由此可知，也可以反過來看，即把弧長等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角。這樣，通過不斷地引導、對比，便可自然而然地得出弧度制的一個定義。

2 數學史知識的融入

其實，在上述弧度制概念的引入過程中，其中也蘊含了豐富的數學史知識。我們知道，數學史不僅僅是介紹數學家們的生平、圖片以及趣聞軼事等，這只不過是其中的內容之一。這些內容通常可以起到“拋磚引玉”的作用，這類相關內容可以激發學生學習數學的“暫時的”興趣，因為它并沒有包含多少“技術”含量。要想讓學生們真正能體會到“火熱的思考”，而不是面對“冰冷”的概念、定理、公理等已經塵埃落定的結論，那么，就需要我們給學生們提供歷史上數學家們曾經經歷過的類似的思維歷程。

孔德說過，個體知識的發生與歷史上人類知識的發生必然是一致的。因此，在我們的教學過程中，必然要允許學生“重蹈覆轍”，重犯歷史上所出現過的錯誤，產生“危機”，然后通過自身的積極探索，重現知識的產生過程，從而使學生能更深刻地理解那些重要概念發展、存留到現在的意義與價值。

比如，在弧度制概念的引入過程中，首先是角度制。古巴比倫人創立了六十進制計數系統，他們將圓周分成360等份，每一份所對的圓心角叫做1度，1度分為60分，1分又分為60秒。事實上，角的度量在數學發展的歷史上曾有過很多進制，比如法國的10進制，英美的密位制等。

其次，在30€？1/2這樣的表達式中，由于進位制的不統一，在歷史上有很多數學家都進行了統一進制的工作。如半徑是360€？0€？€%i = 分≈3438′，這是印度的阿耶婆多（公元476年-550年）的做法，其中已經含有弧度制的思想。

再者，在經歷了千年之后的1748年，瑞士數學家歐拉（Euler）在他的名著《無窮小分析引論》中主張用半徑為單位來量弧長。例如，對于單位圓而言，則半圓周的長是，所對的圓心角的正弦值等于0，即=0；同樣，圓周長是，所對圓心角的正弦值等于1，可以記作=1。這就是我們現在所使用的弧度制，即統一了角和長度的單位。

最后，還有“弧度”一詞的來歷。該詞是愛爾蘭工程師James Thomson在1875年首先創造使用，后來還有人使用“弳”（弧和徑兩字合成），在1956年版的《數學名詞》中才廢除該字，定為弧度。此外，還有弧度符號的發展歷程等等，這些相關的數學史方面的知識都可以適當地給學生做些介紹。

3 總結

從以上弧度制概念的引入過程中，我們可以發現，在數學課堂中引用數學史知識，可以有幾種基本的方式：首先，通過介紹數學家的生平、圖片以及趣聞軼事等來激發學生的學習興趣；其次，通過介紹數學名詞的來歷、意義及發展歷程來幫助學生深入理解；最后，通過對知識的歷史發展過程的“重蹈覆轍”，幫助學生理清障礙，更好地學習和掌握相關知識。與此同時還應注意：在對相關數學史知識進行應用時，并不一定都以顯性的形式來進行，只要能以知識的發展歷程為參考來進行引導，并能達到輔助學生的學習目的即可。

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