期貨定價(jià)問(wèn)題的教學(xué)研究與探討

摘 要 為了讓學(xué)生和操作人員比較全面地理解并掌握遠(yuǎn)期合約的定價(jià)理論，筆者結(jié)合多年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐，從五種不同角度探討和解釋遠(yuǎn)期價(jià)格和現(xiàn)貨價(jià)格所滿足的無(wú)套利關(guān)系式，并推出遠(yuǎn)期合約的價(jià)值公式。

關(guān)鍵詞 遠(yuǎn)期合約 期貨合約 遠(yuǎn)期價(jià)格 價(jià)值

中圖分類(lèi)號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Teaching Research and Discussion on Futures Pricing

ZHANG Yan， ZHOU Shengwu， HAN Miao

（College of Sciences， China University of Mining Technology， Xuzhou， Jiangsu 221116）

Abstract To allow students and operators more comprehensive understanding and master forward contract pricing theory， combined with years of teaching experience， from five different perspectives and interpretations of the forward price and the spot price to meet the no-arbitrage relationship， and launched the value of forward contracts formulas.

Key words forward contracts； futures contracts； forward price； value

0 引言

遠(yuǎn)期和期貨是重要的金融風(fēng)險(xiǎn)管理工具，而關(guān)于期貨和遠(yuǎn)期的定價(jià)方法現(xiàn)有文獻(xiàn)很少，而能讓不同數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)生和操作人員讀懂的文獻(xiàn)更少，比如陳曉杰等①曾對(duì)此問(wèn)題通過(guò)構(gòu)造虛擬衍生資產(chǎn)，利用 B- S-M偏微分方程推導(dǎo)出遠(yuǎn)期的定價(jià)模型，在數(shù)理層次上推導(dǎo)較為嚴(yán)謹(jǐn)，但必須要求讀者有較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方能看懂。為了讓不同層次的人員比較全面地理解并掌握遠(yuǎn)期合約的定價(jià)公式，本文結(jié)合長(zhǎng)期教學(xué)實(shí)踐，從不同角度探討遠(yuǎn)期和期貨合約的多種定價(jià)方法。盡管遠(yuǎn)期合約和期貨合約在形式和內(nèi)容上都有差別，但是在利率確定的情形下，對(duì)于有相同期限的基于同一標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約和期貨合約，它們的價(jià)值卻是相等的。

如何確定遠(yuǎn)期合約中的交割價(jià)及其遠(yuǎn)期合約在任何時(shí)刻的價(jià)值都是一項(xiàng)十分重要的任務(wù)。

遠(yuǎn)期價(jià)格和現(xiàn)貨價(jià)格理論上應(yīng)該滿足什么關(guān)系，才不會(huì)存在套利機(jī)會(huì)呢？這就是我們下面要重點(diǎn)討論的問(wèn)題。我們將應(yīng)用多種方式推導(dǎo)遠(yuǎn)期價(jià)格與現(xiàn)貨價(jià)格的關(guān)系，以及遠(yuǎn)期合約的定價(jià)公式，所得到的關(guān)系式對(duì)于期貨合約都是適用的。

1 遠(yuǎn)期合約的多種定價(jià)方法

下面關(guān)于遠(yuǎn)期合約定價(jià)公式的多種推導(dǎo)方式中，需要用到約翰·赫爾（John C H）的著作②中提到的基本假設(shè)：金融市場(chǎng)上無(wú)稅收和交易費(fèi)用，所有證券都是高度可分的，投資者均可按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貸入或貸出資金，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)，允許賣(mài)空，市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)。

定理 基于不支付紅利的投資資產(chǎn)且到期為T(mén)的遠(yuǎn)期合約，遠(yuǎn)期價(jià)格和現(xiàn)貨價(jià)格滿足：

= （1）

且具有交割價(jià)為的遠(yuǎn)期合約多頭寸在時(shí)刻的價(jià)值為：

= = （2）

其中為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，為遠(yuǎn)期合約的交割價(jià)，為遠(yuǎn)期價(jià)格，為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。

證法一（反證法） 假設(shè)遠(yuǎn)期價(jià)格和即期價(jià)格不滿足關(guān)系式（1）。首先，假設(shè)和滿足>，這時(shí)，投資者可以構(gòu)造投資組合：以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借入元現(xiàn)金，用其買(mǎi)入1單位標(biāo)的資產(chǎn)；同時(shí)賣(mài)出一份基于1單位標(biāo)的資產(chǎn)到期日為的遠(yuǎn)期合約。在合約到期日時(shí)刻，遠(yuǎn)期合約的空頭方必須以的價(jià)格出售其持有的1單位標(biāo)的資產(chǎn)，這時(shí)償還貸款的本息所需資金為，投資者的收益為>0。這表明市場(chǎng)存在套利機(jī)會(huì)，與市場(chǎng)無(wú)套利的假設(shè)矛盾，故關(guān)系式>不成立。其次，假設(shè)和滿足<，構(gòu)造如下投資組合：以價(jià)格賣(mài)出資產(chǎn)，將所得收入以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行期限為的投資；同時(shí)買(mǎi)入一份基于該資產(chǎn)的期限為的遠(yuǎn)期合約。在合約到期日時(shí)刻，現(xiàn)金投資的本息為，投資者必須以的價(jià)格買(mǎi)進(jìn)單位資產(chǎn)， 其收益為>0。顯然市場(chǎng)存在套利機(jī)會(huì)，與市場(chǎng)無(wú)套利的假設(shè)矛盾， 故關(guān)系式<也不成立。綜上所述，可知在市場(chǎng)無(wú)套利的假設(shè)條件下，關(guān)系式（1）成立。

我們將一個(gè)具有交割價(jià)為的遠(yuǎn)期合約多頭與另一個(gè)與其等同但具有交割價(jià)為的遠(yuǎn)期合約多頭相比較。這兩個(gè)合約唯一的不同之處只是在到期日買(mǎi)入標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格不同。第一只合約中的購(gòu)買(mǎi)價(jià)格是，第二只合約中的購(gòu)買(mǎi)價(jià)格是。在時(shí)刻的現(xiàn)金流差異為其在當(dāng)前時(shí)刻的現(xiàn)值為。因此由無(wú)套利假設(shè)，交割價(jià)為的合約價(jià)值要小于交割價(jià)為的合約價(jià)值，其差別為。交割價(jià)為的遠(yuǎn)期合約在當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)值為0。因此交割價(jià)為的遠(yuǎn)期合約的多頭價(jià)值為；再由 = ，可得遠(yuǎn)期合約多頭寸在當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)值為 = = 。

證法二（交易分析法） 遠(yuǎn)期市場(chǎng)上的投資者為了在將來(lái)某個(gè)時(shí)刻擁有1單位的某種投資資產(chǎn)，他可以通過(guò)以下兩種不同的交易方式達(dá)到上述目的：在現(xiàn)貨市場(chǎng)上以即期價(jià)格購(gòu)買(mǎi)1單位標(biāo)的資產(chǎn)，持有到時(shí)刻；也可以買(mǎi)入一份到期日為基于1單位標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約。對(duì)于遠(yuǎn)期交易方式，當(dāng)前的遠(yuǎn)期價(jià)格就是當(dāng)前生效的遠(yuǎn)期合約在到期時(shí)時(shí)刻購(gòu)買(mǎi)1單位資產(chǎn)的交割價(jià)，在合約的到期日，投資者花數(shù)量的資金購(gòu)買(mǎi)1單位標(biāo)的資產(chǎn)。上述的兩種交易方式雖然購(gòu)買(mǎi)資產(chǎn)的時(shí)間不一樣，但最終都是擁有1單位標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值，根據(jù)市場(chǎng)無(wú)套利的假設(shè)，兩種不同的交易方式購(gòu)買(mǎi)1單位標(biāo)的資產(chǎn)的實(shí)際成本應(yīng)該是一樣的，考慮到貨幣的時(shí)間價(jià)值，于是有關(guān)系式 = 成立。用下面的方式證明公式（2）是成立的：賣(mài)出一份到期日為交割價(jià)為的遠(yuǎn)期合約；賣(mài)出到期日為交割價(jià)為的遠(yuǎn)期合約。這兩個(gè)合約唯一不同之處：第一只合約中的賣(mài)出價(jià)格是，而第二種合約中的賣(mài)出價(jià)格是。在時(shí)刻賣(mài)出單位資產(chǎn)所得的現(xiàn)金流差異，在當(dāng)前時(shí)刻的現(xiàn)值為。因此由無(wú)套利假設(shè)，交割價(jià)為的合約空頭價(jià)值要高于交割價(jià)為的合約價(jià)值，其差別為。由遠(yuǎn)期合約的特點(diǎn)知道，具有交割價(jià)為的合約在當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)值為0。基于市場(chǎng)無(wú)套利的假設(shè)，具有交割價(jià)為的合約的空頭頭價(jià)值為，而遠(yuǎn)期合約多頭價(jià)值與空頭價(jià)值相反，故具有交割價(jià)為的合約的多頭價(jià)值為，再由 = ，可得遠(yuǎn)期合約多頭寸在時(shí)刻的價(jià)值為： = （） = 。

證法三（構(gòu)造投資組合法） 投資組合A：進(jìn)入1份交割價(jià)為的遠(yuǎn)期合約多頭加上元現(xiàn)金；投資組合B：持有1單位標(biāo)的資產(chǎn)。對(duì)于投資組合A，將現(xiàn)金以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率投資至合約的到期日，現(xiàn)金的本息和為，并用其購(gòu)買(mǎi)1單位標(biāo)的資產(chǎn)，此時(shí)投資組合A的價(jià)值為1單位標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值。而投資組合B在時(shí)刻也是單位標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值。所以在時(shí)刻，兩個(gè)投資組合A和B的價(jià)值相等。基于市場(chǎng)無(wú)套利的假設(shè)，在到期日之前的任何時(shí)刻，這兩個(gè)組合的價(jià)值也應(yīng)該相等，因此有 + = ，即 = 。如果遠(yuǎn)期合約剛生效，則當(dāng)前的遠(yuǎn)期價(jià)格就等于合約中的交割價(jià)，且交割價(jià)的選取使得合約的初始價(jià)值為零，即在合約剛簽訂時(shí)刻，有 = ，且 = = 0，即 = 。 注意遠(yuǎn)期價(jià)格和即期價(jià)格的關(guān)系式不僅對(duì)于當(dāng)前時(shí)刻成立，而且對(duì)于任意時(shí)刻也是成立的，且在任意時(shí)刻，具有交割價(jià)為的遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值為 = 。

證法四（風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法） 考慮一個(gè)到期日為交割價(jià)為的遠(yuǎn)期合約的多頭寸。在時(shí)刻，遠(yuǎn)期合約的價(jià)值為，利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法，可得遠(yuǎn)期合約多頭寸在時(shí)刻的價(jià)值為 = （）。在風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下，標(biāo)的資產(chǎn)的回報(bào)率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，且資產(chǎn)在合約的有效期內(nèi)沒(méi)有紅利發(fā)放，故在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里，資產(chǎn)的期望值以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的水平增長(zhǎng)，即（） = ，從而可以得到 = ，余下的分析與方法三的后半部分相同，所以遠(yuǎn)期價(jià)格和即期價(jià)格滿足關(guān)系式 = 。

證法五（解B-S-M方程） 假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng) = + ，其中和分別為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的期望收益率和波動(dòng)率，是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。對(duì)于遠(yuǎn)期合約，多頭頭寸的價(jià)值是模型的解，由邊界條件可假設(shè)在任意時(shí)刻，遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值有形式解 = ，則 = ， = ， = 0， 代入模型的前式得[] = 0，選擇，使得 = 0， = 0， = 1， = 1，解得 = 0， = ，從而有 = 。

余下分析與方法三的后半部分一樣，所以遠(yuǎn)期價(jià)格和即期價(jià)格滿足關(guān)系式（1）。

2 小結(jié)

本文是我們?cè)诙嗄甑慕虒W(xué)過(guò)程中，關(guān)于講授遠(yuǎn)期合約和期貨合約定價(jià)問(wèn)題的體會(huì)和總結(jié)，分別從不同角度給出了遠(yuǎn)期價(jià)格與現(xiàn)貨價(jià)格滿足的無(wú)套利關(guān)系式，及其遠(yuǎn)期合約的價(jià)值公式。前面的三種方法是從分析的角度，優(yōu)點(diǎn)是對(duì)于那些不具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)背景的學(xué)生來(lái)說(shuō)也可以很容易直觀理解和接受的。后面的兩種方法都是從數(shù)學(xué)的角度作了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)。而遠(yuǎn)期合約是一個(gè)零和博弈，所以遠(yuǎn)期合約空頭的價(jià)值和多頭的價(jià)值完全相反。關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)在合約有效期內(nèi)有確定性的現(xiàn)金紅利發(fā)放和連續(xù)紅利發(fā)放的情況下、或者標(biāo)的資產(chǎn)是消費(fèi)品的情況下遠(yuǎn)期和期貨的多種定價(jià)方法將在后續(xù)文章中進(jìn)行探討。

基金項(xiàng)目：“江蘇省“十二五”高等學(xué)校重點(diǎn)專(zhuān)業(yè)建設(shè)項(xiàng)目資助”，“中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金”（項(xiàng)目編號(hào)2010 LKSX03）

注釋

① 陳曉杰等.金融期貨與遠(yuǎn)期定價(jià)的虛擬衍生資產(chǎn)偏微分方法研究[J].廣西金融研究，2007（8）.

② John C H.Options，F(xiàn)utures and other Derivatives（7th）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2011.