矩陣左半張量積的一些重要性質

摘 要 文章對矩陣的一種新的乘法運算——左半張量積，進行了探討，獲得了一些新的性質，得到了一些重要的結論。

關鍵詞 左半張量積 換位矩陣 行展開 列展開

中圖分類號：O151 文獻標識碼：A

Some Important Properties of the Left-semi-tensor Product of Matrices

LI Dongfang

（Xuchang Electric Vocational College， Xuchang， He'nan 461000）

Abstract This paper analyzes a new operation of matrices--the left-semi-tensor product， obtains some new properties and important conclusions.

Key words left-semi-tensor product； commutation matrix； row stacking； column stacking

0 引言

矩陣的左半張量積是中科院系統所程代展研究員在文獻[1]中首次提出，它是普通矩陣乘法的推廣。對于普通矩陣，矩陣，可乘只有的列數與的行數相等才可以，而矩陣的左半張量積把矩陣乘法推廣到的列數與的行數滿足倍數關系就可以相乘，這使得這種新的乘法應用領域更廣。它在微分幾何、抽象代數、數理邏輯、動態系統的對稱性以及工程非線性等問題中已經找到自己的應用，并且其應用領域在不斷擴大。因此，研究其性質是很有必要的，在理論上有價值，在現實中也有意義。

1 預備知識

定義1：（1）設 = （，…）是一個行向量， = 是一個列向量。

第一種情況：如果是的因子，即 = €？，則和的左半張量積定義為一個維數為的行向量

€I# =

這里 = （，，…，），且 ， = 1，2，…，。

第二種情況：如果是的因子，即 = €？，則和的左半張量積定義為一個維數為的列向量

€I# =

（2）設，，如果是的因子或者是的因子，則稱 = €I#是和的左半張量積，如果由個塊組成，即 = （），并且 = €I#， = 1，…， = 1，…，。

當定義中 = 時，向量的左半張量積就變成標準內積；當 = 時，矩陣的左半張量積就退化成普通矩陣乘法。因此說左半張量積是普通矩陣乘法的推廣，除非為了強調左半張量積，否則我們文中將會省略乘法符號€I#。所有省略符號的矩陣乘法都看作是左半張量積，普通的矩陣乘法只是它的一種特殊情況。

給定矩陣（），記為的轉置，（）為矩陣的列展開，（）為矩陣的行展開，為換位矩陣。我們有如下引理：

引理1：（）= （），（）= （）。

引理2：設，那么（）= （），（）= （）。

引理3：設，，，那么（）= €I#（），（） = €I#（）。

2 主要結論

定理1：設，則有（1）（）= （），（2）（） = （）。

證明：（1）由引理2知，（）=（），兩邊同時左乘得，（）=（），由于是單位矩陣，所以有（）= （）。由引理1：（）= （），從而有（） = （）。

（2）由引理2知，（）=（），兩邊同時左乘得，（）=（），由于是單位矩陣，所以有（）=（）。由引理1：（）=（），從而有（） = （）。

定理2：給定矩陣，（1）設是一個列向量，則有 = ；（2）設 是一個列向量，則有 = （）。

證明：（1）由引理3：（）=€I#（）可得：（） = €I#（）。兩邊取轉置： = = €I# = €I# = ?？紤]到是1 €？維行向量，則（）是 €？1維列向量， = ，從而有 = 。

（2）由引理3：（） = €I#（）可得：（）= €I#（）。 考慮到為 €？1維列向量，（） = ，從而有 = （）。

定理3：設，，，則有（1）（） = （）；（2）（）= （）。

證明：（1）（） = （） = €I#€I#（） = €I#€I#€I#（）= （）。（2）（） = （） = €I#€I#€I#（） = （）

推論：設，，，那么（1）（） = （）；（2）（）= （）。

證明：（1）由引理3和定理3可得，（） = €I#（） = €I#€I#€I#€I#（）= （）；（2）由引理3和定理3可得，（）= €I#（）= €I#€I#€I#€I#（）= （）。

3 結束語

矩陣的左半張量積是一種新的矩陣乘法，在處理許多問題中它是一種有力的工具，通過文中對其性質的研究，可以看出，矩陣的左半張量積在很大程度上繼承了普通矩陣乘法的性質。 因此，在理論上和實際應用中，它的優越性會越來越明顯，具有廣泛的應用前景。

參考文獻

[1] Cheng D. Semi-tensor product of matrices and its application to Morgan’s problem[J].Science in China， Series F，2001.44（3）：195-212.

[2] Cheng D， Zhang L. On Semi-tensor product of matrices and its applications[J].Acta Math. Appl. Sinica， 2003，19（2）：219-228.

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