如何上好概率論與數理統計緒論課

【摘 要】本文從五個方面就如何上好概率論與數理統計緒論課做了有益的探討，對于這門課的學習能起到提綱挈領的作用。

【關鍵詞】概率論與數理統計 緒論課 教學效果

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）22-0072-02

概率論與數理統計是所有理工科院校的一門數學必修課，且在考研中占著較高的內容比例，因此，在第一次上課時，怎樣去講、講什么內容，如何才能激發學生的學習興趣，提高學生的學習積極性，筆者從以下幾個方面進行探討。

一 序言

當人們在一定的條件下對某些自然現象加以觀察或進行試驗時，其結果可能是多個可能結果中的某一個，而且在每次試驗或觀察前都無法確知其結果，即呈現出偶然性，或出現哪個結果“憑機會而定”。如從大家經常玩的扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡單的機會游戲，到復雜的社會現象——嬰兒的誕生、世間萬物的繁衍生息、流星的墜落……人們無時無刻不面臨著不確定性和隨機性。這種帶有隨機性、偶然性的現象被稱為隨機現象，概率論與數理統計就是研究隨機現象的一門課程。隨機現象具有不確定性，那是不是就沒有規律？通過大量的在一定條件下對隨機現象進行觀測會發現某種規律性，比如拋一枚硬幣，出現正面和出現反面

的可能性都是 ，擲一顆骰子出現1、2、3、4、5、6的可

能性都是 等。從現在開始，我們就對隨機現象的統計規律

性進行學習研究。

通過簡短的介紹，充分調動了學生的學習興趣，使課堂氣氛一下子活躍起來，給這門課開一個好頭。

二 概率論與數理統計發展簡史

概率論是一門研究隨機現象規律的數學分支，起源于17世紀中葉，但當時刺激數學家們首先思考概率論的問題，卻是來自不光彩的賭博。法國數學家費馬向法國數學家帕斯卡提出下列的問題：“現有兩個賭徒相約賭若干局，誰先贏s局就算贏了，當賭徒A贏a局（a

一般認為，概率論作為一門獨立的數學分支，其真正的奠基人是瑞士數學家雅各布·伯努利。他的主要貢獻是建立了概率論中的第一個極限定理——伯努利大數定理，即“在多次重復試驗中，頻率有越趨穩定的趨勢”。這一定理更在他死后的1713年，發表在他的遺著《猜度術》中。

到了1730年，法國數學家棣莫弗出版其著作《分析雜論》中包含了著名的“棣莫弗—拉普拉斯定理”，這就是概率論中第二個基本極限定理的原始雛形。而接著法國數學家拉普拉斯在1812年出版的《概率的分析理論》中，首先明確地對概率作了古典的定義。另外，他又和數個數學家建立了關于“正態分布”及“最小二乘法”的理論，使概率論的發展進入了一個新的時期——分析概論時期。另一個在概率論發展史上的代表人物是法國的泊松，他推廣了伯努利形式下的大數定律，研究得出了一種新的分布，就是泊松分布。概率論繼他們之后，其中心研究課題則集中在推廣和改進伯努利大數定律及中心極限定理上。

概率論發展到1901年，中心極限定理終于被嚴格地證明了，隨后數學家利用這一定理第一次科學地解釋了為什么實際中遇到的許多隨機變量近似服從正態分布。到了20世紀的30年代，人們開始研究隨機過程，而著名的馬爾可夫過程的理論在1931年才被奠定其地位。而前蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫在概率論發展史上亦作出了重大貢獻，到了近代，出現了理論概率及應用概率的分支，將概率論應用到不同范疇，從而開展了不同學科。因此，現代概率論已成為一個非常龐大的數學分支。

與概率論的發展密切相關的是數理統計學。簡單的統計古來就有，但沒有形成知識體系。以概率論為基礎，以統計推斷為主要內容的現代數理統計學到20世紀才逐漸成熟。

近代，最早使用統計的是英國經濟學家格勞特，他在1662年對倫敦市的死亡人數進行了統計推斷。1763年，英國數學家貝葉斯發表《論機會學說問題的求解》，其中的“貝葉斯定理”可以看成是最早的統計推斷程序。英國生物學家和統計學家皮爾遜在現代數理統計的建立上起了重要的作用，被公認為現代統計學之父。現代數理統計作為一門獨立學科的奠基人是英國的數學家費希爾，他提出了許多重要的統計方法。我國數學家許寶騄在多元統計分析方面也做出了卓越貢獻。

1946年，瑞典數學家克拉默發表了《統計學的數學方法》，他系統地總結了數理統計的發展，這標志著現代數理統計學的成熟。

概率論與數理統計是研究隨機現象統計規律性的一門數學學科。概率論——從數學模型進行理論推導，從同類現象中找出規律性，是數理統計學的基礎。數理統計——著重于數據處理，在概率論理論的基礎上對實踐中采集到的信息與數據進行概率特征的推斷，數理統計學是概率論的一種應用。

通過以上概率論與數理統計發展簡史的介紹，可以增強講課的趣味性，避免給學生造成這又是一門枯燥的數學課的感覺；可使學生了解概率論與數理統計的產生和發展過程；還可對學生進行意志、品德教育。

三 經典例子和日常生活例子的分析

為了闡明概率統計的基本思想和方法，可以用“生日問題”、“美國種族歧視問題”和“足球騙局”這三個經典問題為例。

1.生日問題

生日，只論某月某日，不論某年，假定一年有365天，問366個人中至少有兩個人在同一天過生日的可能性有多大？那64個人中至少有兩個人在同一天過生日的可能性又有多大？最后，一個30人的班級中至少有兩個人在同一天過生日的可能性又有多大？

366個人的生日排列到一年中的365天，那必然至少有兩個人是同一天過生日的，因此這種可能性是1。

通過概率論中古典概型的研究，可以得出，64個人生日

各不相同的可能性為 。

故66個人中至少有兩個人在同一天過生日的可能性為

。

同理，一個30人的班級中至少有兩個人在同一天過生

日的可能性為 0.7063。

這個問題還可以應用到中國人特有的屬相中。通過計算可得，任意四個人當中，有兩個人的屬相是一樣的可能約為50%；而在一個六口之家中，幾乎可以斷定有兩個人的屬相是一樣的！

如果上述的數據仍讓你有所懷疑的話，不妨留意一下以下例子：在美國前36任總統中，有兩個人的生日是一樣的（第11任總統波爾克和第29任總統哈定生于11月2日），有三個人死在同一天（第2任總統亞當斯、第3任總統杰斐遜和第5任總統門羅均死于7月4日），當然年份是不同的。

2.美國種族歧視問題

有人說美國沒有種族歧視，因為據某年的數據統計分析，白人殺人后被判死刑的概率為19/160，黑人殺人后被判死刑的概率是17/160，由此說明美國沒有種族歧視。后來有人仔細研究了這組數據，發現如果再看被害人是什么人，則情況是：白人殺白人被判死刑的概率是12.6%，白人殺黑人被判死刑的概率是0，黑人殺白人判死刑的概率是17.5%，黑人殺黑人判死刑的概率是5.8%，由此看到了明顯的種族歧視。

所以，在對同一組數據進行統計時，不同的用法可能使結果大相徑庭。統計研究數據時能不能把真實的東西挖掘出來，這點很重要。

3.足球比賽的騙局

在“英超”足球比賽的進程中，有人收到一封電子郵件，預測明天有一場比賽是甲勝。收到電子郵件的人當然不會輕易相信他。但若發郵件的人連續5次都猜對，就不能不相信他確有這個能力。經過詢問，他說他請著名統計學家編了一個預測軟件，是有科學依據的，所以才能每次猜對。他還說，如果給他匯200元錢，就告知明天比賽的輸贏。但是，等匯過200塊錢以后，就陷入騙局了。

不要以為學了統計就不會被騙。事實的真相是他第一次給2000人發信，其中一半人猜甲勝，另一半猜乙勝，終歸有1000人的結論是正確的，于是再跟說對的1000人中的500人說下場比賽丙勝，對另500人說丁勝，如此下去。

所以，在利用統計結論時，一定要想想數據是怎么來的，又是如何利用數據進行統計的。

通過這些例子，可以告訴同學們概率論與數理統計是和日常生活聯系緊密的一門課程，并且也是怎樣去用所學的數學去解決實際問題的一門課程。

四 與以前所學數學的聯系

通過前面的例子我們看到，概率論與數理統計這門課中要用到大家在中學所學到的排列組合，但古典概型僅僅是概率論中最簡單的情形，為了研究更復雜的概率情形，我們還要用到大學一年級學習的高等數學，特別是函數的微分與積分部分。

五 概率論與數理統計課程的重要性

概率統計理論與方法的應用幾乎遍及所有科學技術領域、工農業生產和國民經濟的各個部門。如：（1）氣象、水文、地震預報、人口控制及預測都與概率論緊密相關；（2）產品的抽樣驗收，新研制的藥品能否在臨床中應用，均需要用到假設檢驗；（3）尋求最佳生產方案要進行實驗設計和數據處理；（4）電子系統的設計離不開可靠性估計；（5）探討太陽黑子的規律時，時間序列分析方法非常有用；（6）研究化學反應的時變率，要以馬爾可夫過程來描述；（7）在生物學中研究群體的增長問題時提出了生滅型隨機模型，傳染病流行問題要用到多變量非線性生滅過程；（8）許多服務系統，如電話通信、船舶裝卸、機器維修、病人候診、存貨控制、水庫調度、購物排隊、紅綠燈轉換等，都可用一類概率模型來描述，其涉及的知識就是排隊論。

目前，概率統計理論進入其他科學領域的趨勢還在不斷發展。在社會科學領域，尤其是經濟學中研究最優決策和經濟的穩定增長等問題，都大量采用概率統計方法，如風險理論中的最優投資和再保險策略……這正如法國數學家拉普拉斯所說的“生活中最重要的問題，其中絕大多數在實質上只是概率的問題。”因此，我們沒有理由不學好這門課。

一次好的緒論課的教學，可使學生充分認識到學習概率論與數理統計的重要性和必要性，促使學生運用所學知識去分析、解決現實問題，使原本枯燥的教學理論變得生動有趣，從而使學生對這門課產生濃厚的學習興趣，提高教學效果。為了全面提高學生的學習水平，教師除了要鉆研概率論與數理統計、研究數學教學規律、改進數學教學方法外，還要上好概率論與數理統計的緒論課。

參考文獻

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〔責任編輯：范可〕