第一積分中值定理在數學物理方程中的應用

【摘 要】積分中值定理在一般的教材中講述得比較簡略，其推廣形式幾乎沒有提及。本文將對第一積分中值定理進行推廣和總結，找出積分中值定理在數學物理方程中的應用，希望讀者能夠通過這篇論文對第一積分中值定理有進一步的認識。

【關鍵詞】第一積分中值定理 推廣 應用

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）22-0092-01

一 第一積分中值定理及其推廣

定理：若f（x）在[a，b]上連續有界，g（x）在[a，

b]上可積且不變號，則存在一點 ∈[a，b]，使得 f（x）

g（x）dx=f（ ） （x）dx。

推論：若f（x）在[a，b]上連續，則存在一點 ∈[a，

b]，使得 dx=f（ ）（b-a）。

推廣：若f（x）在[a，b]上可積且有原函數，g（x）在[a，b]上可積且不變號，則存在一點 ∈[a，b]，使

得 （x）g（x）dx=f（ ） （x）dx。

二 第一積分中值定理在數學物理方程中的應用

1.弦振動方程的推導

在適當的假設條件下，由牛頓第二定律知，弦段（x1，x2）的動量沿u軸的支量在△t=t2-t1的時間段內的變化等

于 （ut（x，t2）-ut（x，t1））ρ（x）dx，使這動量的變化等

于作用力的沖量，這作用力是在點x1及點x2的張力T0ux與所有外力的總和，假定這些外力是連續分布的，其密度按單位長度上的載荷計算，記為f（x，t）。因此就得到弦振動方程的

積分形式： ρ

- ，為了得到微分方程，假

設u（x，t）的二階偏導數存在而且連續，于是對上式分別應用積分中值定理和微分中值定理就得到下面的形式： △x△t △x△t，其中x*，x**，x***∈（x1，x2），t*，t**，t***∈（t1，t2），兩邊消去△x△t，并求出當x2→x1，t2→t1時的極限，就得到了弦振動方程的微分方程：Tuxx=ρuu-f（x，t）。

2.熱傳導方程的推導

在適當的假設下，由福利萊定律知，在一段時間（t1，t2）

內桿的一段（x1，x2）吸收的熱量為

。要使（x1，x2）段在（t1，t2）溫度變化為

△u=u（x，t2）-u（x，t1），必須供給它的熱量為

，然而桿的內部也可能產生或消耗熱量，設在點x處及t的熱源密度為F（x，t），那么在（x1，x2）

段上的熱源在（t1，t2）內作用生出的熱量為 t）

dxdt。那么熱傳導方程可由計算某段（x1，x2）在某段時間

（t1，t2）內的熱衡消而得到，應用能量守恒定律就可以寫出

熱傳導方程的積分形式：

（x，t）dxdt= 。

為了得到微分形式的熱傳導方程，假設u（x，t）有連續的導函數和偏導數，利用第一積分中值定理就可以得到：

△t+F（x4，t4）△x

△t= △x。

再由微分中值定理得： △x△t+F

（x4，t4）△x△t= △x△t。其中t3，t4，t5

∈（t1，t2），x3，x4，x5∈（x1，x2），這樣兩邊消去△x△t并

且取x1，x2→x，t1，t2→t時的極限，就可以得到方程 +

，即熱傳導方程的微分形式。

第一積分中值定理在微分學中還有許多應用，如在第一類曲線積分的計算公式的推導，化第一類曲面積分為二重積分的推導，以及格林公式的推導中都有積分中值定理的應用。另外，第一積分中值定理在后續課程中也有不少的應用。

參考文獻

[1]關若鋒.積分中值定理的推廣[J].廣州大學學報（自然科學版），2004（6）

[2]A.H.吉洪諾夫、A.A.撒馬爾斯基.數學物理方程（上冊）（黃可歐等譯）[M].北京：人民教育出版社，1956

〔責任編輯：龐遠燕〕