“切線”巧探路 “斜率”巧破解

數學是關于數與形的科學，數與形的有機結合是數學解題的基本思想；數學是關于模式的科學，這反映了數學解題時，需要進行“模式識別”，需要建構標準的模型。

本文通過一類高考題想說明數形結合中切線、斜率、截距的使用。同時尋求一種方法，努力使學生整體把握數學解題的通性通法，讓學生抓住通性通法的本質，科學有效地實施解題分析形成解題思維鏈。

例如：設f（x）= （x>1），是否存在實數a，使

得關于x的不等式lnx

若存在，求出a的范圍，若不存在說明理由。

解：不等式lnx

當a=1時，y=a（x-1）恰為y=lnx的切線，切點為（1，0）。x∈（1，+∞），lnx<（x-1）恒成立，即lnx

當a>1時，x∈（1，+∞），lnx

當0

當a≤0時，x∈（1，+∞），lnx

綜上所述：a≥1。

由“形”到“數”的轉化，往往比較明顯，而由“數”到“形”的轉化卻需要轉化的意識，因此，數形結合的思想，使用往往偏重于由“數”到“形”的轉化。

例1：設f（x）=ex+ ，

y=f（x）是否存在零點，若存在

求出零點個數，不存在說明理由。

解：f（x）=ex+ 的零

點f（x）=ex+ =0的根

ex= 的圖像交點a-x= 的圖像交點。

當a=1時，y=f（x）有一個（如圖5所示）。

當a<1時，即y=a-x圖像向下平移，無交點。

當a>1時，即y=a-x圖像向上平移，有兩個交點。

綜上可知，當a=1時，y=f（x）有一個零點，當a>1，y=f（x）有兩個零點。

化歸與轉化思想的核心是把生題轉化為熟題。事實上，解題的過程就是一個縮小已知與求解差異的過程，是求解系統趨近于目標系統的過程，是未知向熟知轉化的過程，因此每解一道題，無論是難題還是易題，都離不開化歸。本題一直在轉化，從零點問題轉化到方程的根，從方程的根轉化到圖像交點問題，最終轉化到熟悉易畫的兩個圖像上。

此類題突出的數學思想特點就是數形結合、劃歸轉化、分類討論，切線的切入，斜率、截距的變換使問題得到有效解決，解題后對題進行反思，通過有限道問題的訓練來獲得解答無限道問題的解題智慧，這正本文的目的所在。

參考文獻

[1]吳成強.“特殊”探路 巧解“一般”——定區間上參數范圍問題的求解策略[J].中學數學參考（上旬），2013（3）

[2]施金鳳.淺談數學解題后的反思[J].數學通報，2008（5）

[3]程新展.高中數學有效教學的六個著力點[J].中學教育，2010

〔責任編輯：駱虢〕