如何用同一法做幾何證明題

在整個中學數學學習過程中，幾何證明題是較難逾越的一個重點和難點，而幾何證明題的重點突破口又是題目的分析方法，所以掌握一定的幾何證明題的分析方法顯得尤為重要。中學幾何題證明方法一般分為直接證明和間接證明兩種，有些題目如果直接去證明，不但關系復雜，而且思路繁瑣。在應試的過程中很難在較短的時間內解決問題，但當你換一種思路，用間接的方法去考慮，往往能夠達到意想不到的效果。間接的證明方法一般又分為兩種：一種是反證法，另一種稱為同一法（又稱統一法），兩種方法各不相同。反證法在教科書中有較為完整的學習體系，而同一法卻沒有給出明確概念和用法，但教科書中的例題卻能經常用到同一法，現就同一法的用法做簡單概括說明。

要想用好同一法，就必須先對同一法有較為明確的概念區分，雖然學界對同一法一直存在爭議，但王學賢老師曾用集合的觀點很好地解釋過同一法的實質，大致內容是：每一個數學命題都是由條件和結論兩部分構成的，一般的命題可以描述為如果（若）某些對象具有某種性質a，那么（則）它們就具有某種性質b，在這里，條件是“某些對象具有性質a”，結論是“它們具有性質b”，如果把具有性質a的對象集合記作A，把具有性質b的對象集合記作B，把某些對象中任一對象記作x，則x∈A。若原命題是真命題，則x∈B。因此，命題用集合描述就是：A是B的子集，即A B。同樣，其逆命題就是B A。顯然A不一定等于B，即原命題成立，逆命題不一定成立，但當集合A僅含有一個元素m，集合B也僅含有一個元素n時，A=B，此時，原命題成立，其逆命題也必然成立。因此，得到下述基本原理：如果一個命題的條件和結論所指的對象都唯一存在時，則原命題、逆命題等價，這個基本原理叫做同一原理。例如“等腰三角形頂角的平分線是底邊的中垂線”就符合同一原理。當一個命題符合同一原理，且直接證明比較困難時，可轉而證明它的逆命題，這種證明方法就是同一法。具體的做法是：欲讓某個圖形A具有某種性質B時，先構造一個具有性質B的圖形A′，然后證明圖形A′就是圖形A，實質上是用證明逆命題來間接證明原命題的正確。下面通過幾個例題更加清楚地來認識同一法。

例1：如圖1所示，E是正方形ABCD內部的一點，∠ECD=∠EDC=15°。求證：△EAB是等邊三角形。

分析：因為在正方形ABCD內部使得∠ECD=∠EDC=15°的點唯一存在。同樣，在正方形ABCD內部以AB為邊的等邊三角形也唯一存在，因此，此題符合同一原理，可以用同一法來證明。

證明：以AB為邊，在正方形ABCD內作等邊三角形E′AB，連接E′C、E′D。

∵E′A=E′B=AB=DA=CB。

∴∠CBE′=90°-60°=30°，∠BCE′=（180°-30°）÷2=75°。

∴∠E′CD=90°-75°=15°。

由此可見，E′和E實際上是同一點，故△EAB是等邊三角形。

例2：如果一條直線截三角形的兩邊所得的線段對應成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

分析：如圖2所示，在△ABC中，若AB邊上D點確

定，則在AC邊上滿足 的E點唯一確定，從而DE

也唯一確定，另一方面，過D點平行于BC邊的平行線唯一存在，因此此題符合同一原理，可先作DE′∥BC，然后證明DE′和DE重合即可。

證明：過D作DE′∥BC，交AC于E′。

在△ABC中，∵DE′∥BC，∴ 。

又 ，∴ ，則 。

即 ，∴AE′=AE。

故E′和E重合，DE′和DE重合。

∵DE′∥BC，∴DE∥BC。

例3：如圖3所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AD+BC=AB，F是CD的中點。求證：∠DAB的平分線過點F。

分析：只要連接AF，證明AF平分∠DAB，或作∠DAB的平分線于DC相交于點F，證明F是DC的中點即可。

證明：連接AF并延長與BC的延長線相交于點E。

∵梯形ABCD，∴AD∥BC，∠D=∠ECF。

又∵∠AFD=∠EFC，DF=CF。∴△ADF≌△ECF，∠E=∠DAF，AD=CE，即BE=BC+CE=BC+AD。

又∵AD+BC=AB。∴AB=BE，∠E=∠BAE，∠DAF=∠BAE，即AE平分∠BAD。

又∵AE過F點，∴∠DAB的平分線過點F。

例4：如圖4所示，在三角形ABC中，M為線段AB

的中點，D為AB上的另一點，連接CD，N為CD的中點，P為BC的中點，連接MN，Q為MN的中點，試證明直線PQ平分線段AD。

分析：因為過P、Q兩點的直線與AD的交點和AD的中點都唯一存在，所以題目符合同一原理，若直接證明，因關系復雜難以證明，因此可采用同一法證明，欲證直線PQ平分AD，可先取AD的中點為E，然后證明P、Q、E三點共線即可。

證明：取AD的中點為E，連接NE、PM、NP。

∵AE=ED，DN=NC。

∴EN∥AC且EN= AC。

同理可證，PM∥AC且PM= AC。

∴EN∥PM且EN=PM，四邊形PNEM為平行四邊形。

連結PE，因為Q是MN的中點，所以對角線PE必過Q點，即P、Q、E三點共線。

∴直接PQ必平分AC。

通過上面幾個例題中可以看出，要想能夠正確快捷地利用同一法解決幾何題，首先要能夠快速地判斷出題目是否符合同一原理，只有在符合同一原理的情況下才能夠運用此法。實際上，同一法的根據是原命題和逆命題等價，通過證明逆命題正確來判定原命題正確，這一點要與反證法注意區分開。任何命題的原命題與逆否命題都是等價的，而反證法是通過證明逆命題的正確來判斷原命題的正確，所以從理論上講，任何命題都可以用反證法來證，能用同一法證明的題目都可用反證法證，而同一法只適用于一些特殊命題的證明。

〔責任編輯：駱虢〕