美式證券期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法討論

【摘要】近年來，利率衍生工具的定價(jià)和對(duì)沖，已經(jīng)受到數(shù)學(xué)家和金融家的許多關(guān)注。債券期權(quán)不同于股票衍生品，它更具有挑戰(zhàn)，它把價(jià)格取決于利率和時(shí)間的債券作為標(biāo)的資產(chǎn)。因此，必須找到動(dòng)態(tài)模型來刻畫整個(gè)收益率曲線的隨機(jī)過程，這使得利率衍生工具的定價(jià)成為一項(xiàng)復(fù)雜的任務(wù)。之前的學(xué)者已經(jīng)建立了多種利率衍生模型：如Black模型，CIR模型和HW模型等。本文提出了一種基于Cox-Ingrosll-Ross（CIR）模型的數(shù)值方法，用來定價(jià)美式折扣債券期權(quán)。CIR模型是由偏微分互補(bǔ)問題管轄的。我們首先提出一種懲罰法來解決這種互補(bǔ)問題，得到了一個(gè)非線性偏微分方程（PDE）。為了得到這個(gè)非線性PDE的數(shù)值解，我們使用了一種新的用于空間離散的擬合有限體積法和時(shí)間層的隱式差分格式。

【關(guān)鍵詞】美式期權(quán)定價(jià) 金融 互補(bǔ)問題 計(jì)算方法

在現(xiàn)代金融理論和實(shí)踐研究中，各種衍生證券的定價(jià)是非常重要的問題。期權(quán)是一種很特殊的衍生工具，它是指在未來時(shí)間的選擇權(quán)，它提供給期權(quán)持有者在特定的時(shí)間按某一確定價(jià)格購(gòu)買（或出售）一定數(shù)量標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)力，而不負(fù)有必須購(gòu)買（或出售）的義務(wù)。自1973年期權(quán)在芝加哥交易所首次進(jìn)行交易以來，期權(quán)市場(chǎng)便迅猛發(fā)展，而期權(quán)定價(jià)理論的研究也隨之取得了突破性進(jìn)展。Black和Scholes首先給出了不支付紅利股票下的歐式期權(quán)的定價(jià)公式，同年，Merton為他們提出的期權(quán)定價(jià)理論的完善化做出了杰出的貢獻(xiàn)。期權(quán)定價(jià)理論是目前金融數(shù)學(xué)、金融工程研究的前沿和熱點(diǎn)問題。

中國(guó)在改革開放的進(jìn)程中，金融市場(chǎng)逐漸發(fā)展并與世界接軌。各種新型金融產(chǎn)品的出現(xiàn)和金融交易的的引入，是勢(shì)不可擋的。雖然中國(guó)的期權(quán)市場(chǎng)發(fā)展起步較晚，但縱觀整個(gè)國(guó)內(nèi)期權(quán)市場(chǎng)，其需求已相當(dāng)成熟。然而期權(quán)的開發(fā)能否從研究階段過渡到試運(yùn)行階段，取決于如何對(duì)期權(quán)進(jìn)行有效的風(fēng)險(xiǎn)控制與管理，要做到這一點(diǎn)，則必須首先對(duì)期權(quán)進(jìn)行合理的定價(jià)。因此，開展對(duì)期權(quán)定價(jià)理論的研究就顯得尤為重要了。

對(duì)于歐式期權(quán)，Black 和Scholes早已給出解析形式的定價(jià)公式，然而，對(duì)于美式期權(quán)的定價(jià)，并不存在這樣的解析公式，也無(wú)法求得精確解。此外，在現(xiàn)實(shí)世界中，交易所中交易的期權(quán)大多數(shù)為美式期權(quán)。因此，發(fā)展各種計(jì)算美式期權(quán)價(jià)格的數(shù)值方法具有著重要的實(shí)際意義。

一、美式債券期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型

這部分我們簡(jiǎn)略地描述了美式債券期權(quán)的數(shù)學(xué)模型。表示短期利率，在這篇文章中，我們假設(shè)利率期限結(jié)構(gòu)由CIR模型控制，即，值由均值回歸的平方根控制：

是維納過程的增量，是短利率的長(zhǎng)期值，代表調(diào)整的速度，是帶有常數(shù)的方差，在實(shí)踐中，值是強(qiáng)制約束的正數(shù)，Cox等人展示了面值1美元的折價(jià)債券在到期時(shí)它的價(jià)格計(jì)算式：

，

其中為市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。

現(xiàn)在，用表示敲定價(jià)格為的美式零息債券看跌期權(quán)的價(jià)格，持有者可以在到期日獲得一定的報(bào)酬。引入時(shí)間逆向轉(zhuǎn)換式，期權(quán)的價(jià)格就能夠用公式表示出來，就像下面幾種拋物線型偏微分互補(bǔ)問題（PDCP）。

問題1：

（1）

幾乎處處屬于內(nèi)，

為了計(jì)算的目的，有必要約束值在一個(gè)有限的范圍，值是一個(gè)足夠大的值，以確保該方案的準(zhǔn)確性，因此公式（3）可寫為：

問題2：值得注意的是對(duì)于看跌期權(quán)，且，而對(duì)于看漲期權(quán)，，否則期權(quán)將無(wú)法實(shí)施并且毫無(wú)價(jià)值。

二、美式債券期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法

1.懲罰法。在這個(gè)部分中，我們將采用懲罰法來解決上述互補(bǔ)問題（1）。為了實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，我們通過下面的非線性PDE來近似描繪這一互補(bǔ)問題。

問題3：

， （2）

其中是懲罰參數(shù)，滿足并且對(duì)任意的，。

懲罰法背后的思想很簡(jiǎn)單。通過添加懲罰項(xiàng)，當(dāng)懲罰參數(shù)變得足夠大時(shí)，正項(xiàng)部分接近于零。因此，（1）中的互補(bǔ)條件近似被滿足。關(guān)于懲罰法有解和收斂特性的具體研究可以在其他文獻(xiàn)中找到。

問題4：由于擴(kuò)散算子的退化和支付函數(shù)的非平滑，問題1一般沒有經(jīng)典解（“平穩(wěn)”的解）。同樣，（2）是非線性和退化的。因此，問題3也沒有經(jīng)典解。在這種情況下，我們要尋找問題1和3的粘性解。在金融上，粘性解正是與金融相關(guān)的解。在金融數(shù)學(xué)背景下，PDE粘性解的存在性和唯一性都得到之前學(xué)者詳細(xì)的討論。請(qǐng)注意，問題3的解是問題1的解的近似。各學(xué)者已探討得出，當(dāng)時(shí)，收斂于。因此，為了簡(jiǎn)單起見，我們將省略這部分討論，集中注意于問題3粘性解的數(shù)值逼近。

2.擬合有限體積法。為了簡(jiǎn)化記號(hào)，在本文其余部分，我們將省略問題3的解的下標(biāo)。在進(jìn)行離散之前，我們先將（2）轉(zhuǎn)化為以下形式：

（3）

其中，

，

，

。 （4）

擬合有限體積法是基于自伴隨形式（3）的。我們先定義I的兩種空間分區(qū)。把I分成N份

，對(duì)任意，使，

如果我們定義，這些時(shí)間間隔將形成了另一個(gè)分區(qū)。

對(duì)于任意，在上對(duì)（3）進(jìn)行積分，

（5）

根據(jù)定積分的定義，我們可得：

（6）

是區(qū)間的長(zhǎng)度，對(duì)于任意，，

表示節(jié)點(diǎn)逼近的值。是與V相關(guān)的加權(quán)通量密度，可以被定義為：

（7）

我們現(xiàn)在得到了被定義在區(qū)間（對(duì)任意）中點(diǎn)處的連續(xù)通量的近似值。現(xiàn)考慮以下兩點(diǎn)邊值問題：

，

（8）

求解這個(gè)方程，我們得到：

， （9）

其中，

（10）

同樣，我們也可以在處定義一個(gè)通量。

注意到以上的分析并不適用于在區(qū)間上的通量的近似，因?yàn)椋?）是退化的。為了解決這個(gè)問題，可以重新考慮給（8）再加一個(gè)自由度，此處不做詳細(xì)介紹。

三、結(jié)束語(yǔ)

在本文中，我們制定了一種數(shù)值方法，基于CIR模型，用于解決從美式折扣債券看跌期權(quán)定價(jià)中所產(chǎn)生的互補(bǔ)問題。在這種方法中，我們首先使用懲罰法通過一個(gè)非線性PDE來接近原始問題。然后我們提出擬合有限體積法解決非線性PDE的空間離散，再加上時(shí)間層隱式差分格式。而關(guān)于該方法的離散以及收斂性本文不再證明。

參考文獻(xiàn)

[1] 張鐵.美式期權(quán)定價(jià)問題的數(shù)值方法[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2002（01）：113-122.

[2] 姜禮尚.期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法[M].北京：高等教育出版社，2008.

作者簡(jiǎn)介：董夢(mèng)玲（1991-），女，安徽合肥人，本科，研究方向：金融數(shù)學(xué)。

（編輯：陳岑）