立體幾何中向量法解題的應用

摘 要：向量在數學中有著廣泛的應用，這篇文章主要內容是用向量法解決空間中平行關系、空間中垂直關系、求空間角和空間距離的問題，文章給出了用向量法解決這些問題的途徑，并用例題說明了用法。

關鍵詞：立體幾何 向量法解題 應用

中圖分類號：G421 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）05（c）-0094-03

空間中平行關系包括空間兩直線的平行、直線與平面的平行、平面與平面的平行；空間中的垂直關系包括空間兩直線的垂直、直線與平面的垂直、平面與平面的垂直。這些位置關系涉及的判定定理與性質定理是高考中常考的考點，證明空間平行與垂直一般有三種途徑：一是定義法；二是判定定理發；三是綜合利用各種性質進行轉化。在這些方法中如果利用了向量法問題就得到了有效的解決。

在立體幾何中，我們還要求空間角（兩條直線所成的角、直線和平面所成的角、二面角）和空間距離（兩點間的距離、異面直線之間的距離、點到面的距離、直線和平面的距離以及兩平行平面間的距離）。傳統的做法是通過性質找到要求的角或距離，加以求解，找到角或距離是重點也是難點。新課程引入了向量，我們可以利用向量法計算空間角、空間距離，開辟了解決這方面問題的新途徑，這樣往往效果更佳。

現就我用向量法解題的一些體會在這里寫出，和廣大數學教師和數學愛好者作一探究。用向量法解決立體幾何問題，我們常用到直線的方向向量、平面的法向量，直線的方向向量就是在直線上任取兩點A、B，向量就是上的一個方向向量；平面的法向量就是所在直線與平面垂直的向量。顯然一條直線的方向向量（或一個平面的法向量）有無數多個，它們是共線向量。

1 用向量法判斷空間的位置關系（見表1）

2 利用向量求空間角

2.1 求兩條異面直線所成的角

設、分別是兩條異面直線、的方向向量，與所成角為，則

2.2 求直線與平面所成的角

設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為

2.3 求二面角的大小

（1）若AB、CD分別是二面角的兩個面內與棱垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量與的夾角，如圖1所示。

（2）設、分別是二面角的兩個面、的法向量，則向量與的夾角（或其補角）的大小就是二面角的大小，如圖2、3所示。

3 利用空間向量求空間距離

（1）利用，可以求空間中有向線段的長度，即點A、B之間的距離。

（2）異面直線間的距離。

設、分別是兩條異面直線、的方向向量，A，B分別是、上的兩點，分別與、垂直的非零向量，則與的距離，其中是與異面直線公垂線段CD所在直線方向向量共線的向量，如圖4所示。

（3）點面間的距離。

如圖5，已知AB為平面的一條斜線段，為平面的法向量，則B到平面的距離

注：直線到平面的距離和兩個平行平面間的距離可以轉化為點到面距離。

用空間向量解決立體幾何問題的思路。

（1）要解決的問題可用什么向量知識來解決：

（2）所需要的向量是否已知，若未知是否可用已知條件轉化成的向量直接表示。

（3）所需要的向量若不能直接用已知條件轉化成的向量表示，則它們分別最容易用哪些向量表示？這些未知向量與已知條件轉化向量有何關系？

（4）怎樣對已經表示出來的所需向量進行運算才能得到需要的結論？

下面我們來看一些相關的問題：

例1：如圖6已知直三棱柱中，為等腰直角三角形，，且AB=AA1，D、E、F分別為、、的中點，求證：

（1）。

（2）。

證明：建立如圖7所示的空間直角坐標寫A-xyz，

不妨設AB=AA1=4，則：

，，

，，

（1），平面ABC的一個法向量為

（2）

注：坐標平面xoy面、yoz面、zox面的一個法向量分別為、和。

例2：如圖78，四棱錐中，，，側面為等邊三角形，。

（1）證明：平面SAB。

（2）求AB與平面SBC所成的角的大小。

解：以C為坐標原點，射線CD為x軸正半軸，建立如圖9所示

的空間直角坐標系C—xyz。

設D（1，0，0），則A（2，2，0）、B（0，2，0）。

設。

（1），，

由得

故x=1。

由

又由

即

于是，

故

所以平面SAB。

（2）設平面SBC的法向量，

則

又

故

取p=2得。

故AB與平面SBC所成的角為。

例3：如圖10，已知長方體

直線與平面所成的角為，垂直于，為的中點。

（1）求異面直線與所成的角。

（2）求平面與平面所成的二面角。

（3）求點到平面的距離。

解：在長方體中，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，所在的直線為軸建立如圖11示空間直角坐標系由已知可得，又平面，從而與平面所成的角為，又，，從而易得

（1）因為

所以=

易知異面直線所成的角為

（2）易知平面的一個法向量設是平面的一個法向量，

由

即所以即平面與平面所成的二面角的大?。ㄤJ角）為

（3）點到平面的距離，即在平面的法向量上的投影的絕對值，

所以距離=所以點到平面的距離為。

例4：如圖12，，，，求點到平面ABC的距離。

解：

，即是平面ABC的法向量。

，點H到平面ABC的距離，即在平面ABC的法向量上的投影的絕對值，所以距離

注：若，，，abc0，

則平面ABC的方程為：

則平面ABC的一個法向量為

向量既是代數的，又是幾何的，向量在數學中有著廣泛的應用，向量與代數，向量與幾何，向量與三角等，以上僅對用向量法解析立體幾何有關問題進行初步探討，共同仁教學參考，若有錯誤敬請斧正。