“一線法”求二面角的平面角

摘 要：求二面角的平面角是高考立體幾何中解答題的重點題目。本文用“一線法”例舉了2012年全國各省市高考題中的求二面角的題目，供同行和廣大考生參考。

關鍵詞：二面角 平面角 一線法

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）05（c）-0108-01

求二面角的平面角是高考立體幾何中解答題的重點題目。雖然利用向量法不用找二面角的平面角，降低了學生的空間想象力，但需要精確的計算，且計算量過大，考生稍一疏忽，就會算錯，不能得分，十分可惜。本文給出一種方便可行的確定二面角的平面角的方法：“一線法”，供同行和廣大考生參考。

方法來源：二面角的平面角的定義：如圖1，在二面角的棱上任取一點O，以點O為垂足，在半平面和內分別作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的角叫做二面角的平面角。

在射線OA和OB上分別任取不同于O的兩點A、B，連接AB，則平面OAB，所以。

方法歸納：若過A點做，O為垂足，連接OB，則平面OAB，所以，則就是二面角的平面角。由此，我們可以得到確定二面角的平面角的一種方法：在兩個半平面內分別找一點A、B，連接AB，若棱l，過其中一點A作棱l于點O，連接BO，則就是二面角的平面角。此法的關鍵是找到一條與棱垂直的直線，故此稱為“一線法”。

“一線法”確定二面角的平面角的方法過程：（1）在兩個半平面內個各找一點A、B，使它們的連線AB垂直二面角的棱。（2）過點A做，O為垂足。（3）連接OB，則就是二面角的平面角。此法只需“一找、二作、三連”就能確定二面角的平面角，方便可行，易于操作。下面例舉2012年全國部分省市的高考題中求二面角的平面角的題目，供廣大考生和同行們共享。

例1：（2012年高考，新課標理）如圖2，直三棱柱中，，D是棱的中點，

（1）證明：。

（2）求二面角的大小。

（1）證明：在中，得：。

同理：，即，又， 且，所以平面.

（2）解：面

取的中點O，過點O作于點H，連接

，面面平面，又平面，又已知，所以點H與點D重合，如圖3。

故是二面角的平面角

設，則，

即二面角的大小為30°。

縱觀近幾年全國各省市的高考題，幾乎都有求二面角平面角的解答題。向量作為一種工具，能夠計算立體幾何中的空間角和距離等問題，學生只需建立空間直角坐標系，找出點、向量的坐標，求出法向量，再按各種公式計算就可以了，具有一定的模式化，像流水作業一樣，而立體幾何的重點在于培養學生的空間想象力，所以我們更應重視利用幾何法確定二面角的平面角，然后在求解。上面的“一線法”不失為確定二面角的平面角的一種好的方法，方便可行。它只需“一找、二作、三連”，重點在于找一條與棱垂直且與兩個半平面都相交的直線，通過上例我們可以看出，在具體的實例中要找兩個點都是特殊點，如例1中的，是半平面中“三角形面”（平面是無限延展的，實例中都是平面的一部分，故此稱“三角面”）三角形的頂點，O是半平面中“四邊形面”中A的中點。只需我們細心觀察、猜測，然后加以證明。利用幾何法求二面角的平面角，與向量法比較，大大減少了計算，降低了計算的難度，提高了正確率。

參考文獻

[1]林風嶺.二面角的平面角的一種定位方法[J].高中數學教與學，2012（5）：20-22.

[2]2012年高考真題理科數學解析匯編：立體幾何[EB/OL].www.ks5u.com.