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線性代數課程教學中矩陣乘法運算的教學思考

2013-12-31 00:00:00鄒黎敏吳艷秋
大學教育 2013年10期

[摘 要]結合教學實踐,本文主要探討矩陣乘法運算的教學過程,首先,以學生切身相關的早餐為例引入矩陣乘法,解釋矩陣乘法定義“從何而來”;其次,以“啟發式”教學模式引導學生如何自學乘法定義;最后,再結合矩陣乘法定義以一些特殊的例子講解矩陣乘法運算規律,同時將這些運算規律與數的運算規律進行比較。教學實踐證明,這樣的教學安排優化了此章節的教學效果。

[關鍵詞]線性代數 矩陣乘法運算 教學過程

[中圖分類號] G712 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437(2013)10-0039-02

一、引入

給出下列實際問題:

某學校每位男生,每位女生,每天早上花費在牛奶、面包、雞蛋上面的費用統計表:

電子與信息工程專業(簡稱電信)1,2兩個班男女生人數統計表:

學生待解決問題:通過以上兩個表格的信息,計算電信1、2兩個班每天早上花費在牛奶、面包、雞蛋上面的費用分別為多少?完成下面表格:

將以上三個表格對應的矩陣記為A,B,C,矩陣C稱為矩陣A,B的乘積。

這樣的引入,比起直接給出矩陣乘法定義的教學模式,更直觀更接近生活實際,能夠激發學生學下去的欲望。

二、矩陣乘法的定義講解

矩陣乘法定義的講授,主要采用啟發式教學方式,按照提出問題、分析解決問題的兩個步驟進行教學。

(一)提出問題

給出定義之前,提出3個問題,讓學生帶著這3個問題去自學定義:

問題1:A與B必須滿足什么條件才能相乘?為什么?

問題2:乘積C的行數,列數與A,B的行數和列數有怎樣的關系?

問題3:矩陣C的任意元素cij是由A,B的元素怎樣運算所得?

提出問題的目的在于可以讓學生有的放矢地學習,有目的性地獲得矩陣乘法定義的三個重要知識點,突出教學目的。

(二)分析解決問題

待學生幾分鐘自學完成后,結合引例和定義,和學生一起對剛才的問題進行完整地解答,只要解決了剛才提出的三個問題,矩陣乘法定義的精髓便已獲得,再給出一個例子,鞏固剛才的成果。

例:已知A=■,B=■, 問A,B能否相乘?若能,求出兩個矩陣乘積(解答此例題同樣緊緊圍繞剛才提出的3個問題一一進行解答)。

三、矩陣乘法運算規律講解(重點與數的乘法運算規律進行對比學習)

求解下列例題,并由此得出與數的乘法運算規律不一樣的結論。

例1:A=■,B=■,問AB,BA是否都有意義?如有,求出來。

結論1:矩陣AB有意義但是BA沒有意義。

例2:(1)A=■,B=■,求AB,BA

(2)A=■,B=■,求AB,BA

結論2:AB與BA同時有意義的前提下,AB也不一定等于BA,即說明矩陣乘法不滿足交換律。和數對比,對于任意兩個數a, b, 都有ab=ba。

例3:A=■,B=■,C=■,求AB,AC

結論3:若A≠O,B≠O,也有可能得到AB=O,反之若AB=O,不能得到A=O或者B=O。對于兩個數:

a,b∶ab=0?圯a=0或者b=0。

結論4:AB=AC,A≠O,不能推出B=C,對比數:ab=ac,a≠0?圯b=c

以上運算規律是和數不一樣的地方,接下來看兩者類似的運算規律:

1. 結合律 (AB)C=A(BC),λ(AB)=(λA)B=A(λB),λ為數

2. 分配律A(B+C)=AB+AC左分配,(B+C)A=BA+CA右分配,

(此分配律要特別強調矩陣的位置)

例4:A=■,B=■,求AB,BA

結論5:對角陣相乘滿足交換律,所得乘積為一個對角陣,對角陣上的元素即為兩對角陣對角線上的元素對應相乘。

例5:ImAmn,AnmIn

結論6:ImAmn=AnmIn=A

四、數的乘法與矩陣乘法對照學習總結表

為了幫助學生記住剛才的各個知識點,在詳細講解完后,將矩陣乘法的相關運算規律和數的乘法進行對比總結,如下表:

教學實踐證明:這樣的教學安排,確實能夠易化學生矩陣乘法的學習,優化學生學習效果。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 張志讓,劉啟寬.線性代數與空間解析幾何[M].北京:高等教育出版社,2009.

[2] 吳傳生,王衛華.經濟數學——線性代數[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3] 同濟大學數學系.工程數學——線性代數[M].北京:高等教育出版社,2007.

[4] 畢淑娟,張俊超.《概率論與數理統計》課程案例教學法探析[J].繼續教育研究,2012,(2).

[5] 吳新中.工科院校通識教育課程實踐的問題與對策[J].教育研究與實驗,2009,(7).

[責任編輯:左 蕓]

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