線性代數課程教學中矩陣乘法運算的教學思考

[摘 要]結合教學實踐，本文主要探討矩陣乘法運算的教學過程，首先，以學生切身相關的早餐為例引入矩陣乘法，解釋矩陣乘法定義“從何而來”；其次，以“啟發式”教學模式引導學生如何自學乘法定義；最后，再結合矩陣乘法定義以一些特殊的例子講解矩陣乘法運算規律，同時將這些運算規律與數的運算規律進行比較。教學實踐證明，這樣的教學安排優化了此章節的教學效果。

[關鍵詞]線性代數 矩陣乘法運算 教學過程

[中圖分類號] G712 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）10-0039-02

一、引入

給出下列實際問題：

某學校每位男生，每位女生，每天早上花費在牛奶、面包、雞蛋上面的費用統計表：

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電子與信息工程專業（簡稱電信）1，2兩個班男女生人數統計表：

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學生待解決問題：通過以上兩個表格的信息，計算電信1、2兩個班每天早上花費在牛奶、面包、雞蛋上面的費用分別為多少？完成下面表格：

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將以上三個表格對應的矩陣記為A，B，C，矩陣C稱為矩陣A，B的乘積。

這樣的引入，比起直接給出矩陣乘法定義的教學模式，更直觀更接近生活實際，能夠激發學生學下去的欲望。

二、矩陣乘法的定義講解

矩陣乘法定義的講授，主要采用啟發式教學方式，按照提出問題、分析解決問題的兩個步驟進行教學。

（一）提出問題

給出定義之前，提出3個問題，讓學生帶著這3個問題去自學定義：

問題1：A與B必須滿足什么條件才能相乘？為什么？

問題2：乘積C的行數，列數與A，B的行數和列數有怎樣的關系？

問題3：矩陣C的任意元素cij是由A，B的元素怎樣運算所得？

提出問題的目的在于可以讓學生有的放矢地學習，有目的性地獲得矩陣乘法定義的三個重要知識點，突出教學目的。

（二）分析解決問題

待學生幾分鐘自學完成后，結合引例和定義，和學生一起對剛才的問題進行完整地解答，只要解決了剛才提出的三個問題，矩陣乘法定義的精髓便已獲得，再給出一個例子，鞏固剛才的成果。

例：已知A=■，B=■， 問A，B能否相乘？若能，求出兩個矩陣乘積（解答此例題同樣緊緊圍繞剛才提出的3個問題一一進行解答）。

三、矩陣乘法運算規律講解（重點與數的乘法運算規律進行對比學習）

求解下列例題，并由此得出與數的乘法運算規律不一樣的結論。

例1：A=■，B=■，問AB，BA是否都有意義？如有，求出來。

結論1：矩陣AB有意義但是BA沒有意義。

例2：（1）A=■，B=■，求AB，BA

（2）A=■，B=■，求AB，BA

結論2：AB與BA同時有意義的前提下，AB也不一定等于BA，即說明矩陣乘法不滿足交換律。和數對比，對于任意兩個數a， b， 都有ab=ba。

例3：A=■，B=■，C=■，求AB，AC

結論3：若A≠O，B≠O，也有可能得到AB=O，反之若AB=O，不能得到A=O或者B=O。對于兩個數：

a，b∶ab=0？圯a=0或者b=0。

結論4：AB=AC，A≠O，不能推出B=C，對比數：ab=ac，a≠0？圯b=c

以上運算規律是和數不一樣的地方，接下來看兩者類似的運算規律：

1. 結合律 （AB）C=A（BC），λ（AB）=（λA）B=A（λB），λ為數

2. 分配律A（B+C）=AB+AC左分配，（B+C）A=BA+CA右分配，

（此分配律要特別強調矩陣的位置）

例4：A=■，B=■，求AB，BA

結論5：對角陣相乘滿足交換律，所得乘積為一個對角陣，對角陣上的元素即為兩對角陣對角線上的元素對應相乘。

例5：ImAmn，AnmIn

結論6：ImAmn=AnmIn=A

四、數的乘法與矩陣乘法對照學習總結表

為了幫助學生記住剛才的各個知識點，在詳細講解完后，將矩陣乘法的相關運算規律和數的乘法進行對比總結，如下表：

教學實踐證明：這樣的教學安排，確實能夠易化學生矩陣乘法的學習，優化學生學習效果。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 張志讓，劉啟寬.線性代數與空間解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2] 吳傳生，王衛華.經濟數學——線性代數[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3] 同濟大學數學系.工程數學——線性代數[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4] 畢淑娟，張俊超.《概率論與數理統計》課程案例教學法探析[J].繼續教育研究，2012，（2）.

[5] 吳新中.工科院校通識教育課程實踐的問題與對策[J].教育研究與實驗，2009，（7）.

[責任編輯：左 蕓]