線性代數(shù)課程教學(xué)中矩陣乘法運算的教學(xué)思考

[摘 要]結(jié)合教學(xué)實踐，本文主要探討矩陣乘法運算的教學(xué)過程，首先，以學(xué)生切身相關(guān)的早餐為例引入矩陣乘法，解釋矩陣乘法定義“從何而來”；其次，以“啟發(fā)式”教學(xué)模式引導(dǎo)學(xué)生如何自學(xué)乘法定義；最后，再結(jié)合矩陣乘法定義以一些特殊的例子講解矩陣乘法運算規(guī)律，同時將這些運算規(guī)律與數(shù)的運算規(guī)律進行比較。教學(xué)實踐證明，這樣的教學(xué)安排優(yōu)化了此章節(jié)的教學(xué)效果。

[關(guān)鍵詞]線性代數(shù) 矩陣乘法運算 教學(xué)過程

[中圖分類號] G712 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）10-0039-02

一、引入

給出下列實際問題：

某學(xué)校每位男生，每位女生，每天早上花費在牛奶、面包、雞蛋上面的費用統(tǒng)計表：

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電子與信息工程專業(yè)（簡稱電信）1，2兩個班男女生人數(shù)統(tǒng)計表：

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學(xué)生待解決問題：通過以上兩個表格的信息，計算電信1、2兩個班每天早上花費在牛奶、面包、雞蛋上面的費用分別為多少？完成下面表格：

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將以上三個表格對應(yīng)的矩陣記為A，B，C，矩陣C稱為矩陣A，B的乘積。

這樣的引入，比起直接給出矩陣乘法定義的教學(xué)模式，更直觀更接近生活實際，能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)下去的欲望。

二、矩陣乘法的定義講解

矩陣乘法定義的講授，主要采用啟發(fā)式教學(xué)方式，按照提出問題、分析解決問題的兩個步驟進行教學(xué)。

（一）提出問題

給出定義之前，提出3個問題，讓學(xué)生帶著這3個問題去自學(xué)定義：

問題1：A與B必須滿足什么條件才能相乘？為什么？

問題2：乘積C的行數(shù)，列數(shù)與A，B的行數(shù)和列數(shù)有怎樣的關(guān)系？

問題3：矩陣C的任意元素cij是由A，B的元素怎樣運算所得？

提出問題的目的在于可以讓學(xué)生有的放矢地學(xué)習(xí)，有目的性地獲得矩陣乘法定義的三個重要知識點，突出教學(xué)目的。

（二）分析解決問題

待學(xué)生幾分鐘自學(xué)完成后，結(jié)合引例和定義，和學(xué)生一起對剛才的問題進行完整地解答，只要解決了剛才提出的三個問題，矩陣乘法定義的精髓便已獲得，再給出一個例子，鞏固剛才的成果。

例：已知A=■，B=■， 問A，B能否相乘？若能，求出兩個矩陣乘積（解答此例題同樣緊緊圍繞剛才提出的3個問題一一進行解答）。

三、矩陣乘法運算規(guī)律講解（重點與數(shù)的乘法運算規(guī)律進行對比學(xué)習(xí)）

求解下列例題，并由此得出與數(shù)的乘法運算規(guī)律不一樣的結(jié)論。

例1：A=■，B=■，問AB，BA是否都有意義？如有，求出來。

結(jié)論1：矩陣AB有意義但是BA沒有意義。

例2：（1）A=■，B=■，求AB，BA

（2）A=■，B=■，求AB，BA

結(jié)論2：AB與BA同時有意義的前提下，AB也不一定等于BA，即說明矩陣乘法不滿足交換律。和數(shù)對比，對于任意兩個數(shù)a， b， 都有ab=ba。

例3：A=■，B=■，C=■，求AB，AC

結(jié)論3：若A≠O，B≠O，也有可能得到AB=O，反之若AB=O，不能得到A=O或者B=O。對于兩個數(shù)：

a，b∶ab=0？圯a=0或者b=0。

結(jié)論4：AB=AC，A≠O，不能推出B=C，對比數(shù)：ab=ac，a≠0？圯b=c

以上運算規(guī)律是和數(shù)不一樣的地方，接下來看兩者類似的運算規(guī)律：

1. 結(jié)合律 （AB）C=A（BC），λ（AB）=（λA）B=A（λB），λ為數(shù)

2. 分配律A（B+C）=AB+AC左分配，（B+C）A=BA+CA右分配，

（此分配律要特別強調(diào)矩陣的位置）

例4：A=■，B=■，求AB，BA

結(jié)論5：對角陣相乘滿足交換律，所得乘積為一個對角陣，對角陣上的元素即為兩對角陣對角線上的元素對應(yīng)相乘。

例5：ImAmn，AnmIn

結(jié)論6：ImAmn=AnmIn=A

四、數(shù)的乘法與矩陣乘法對照學(xué)習(xí)總結(jié)表

為了幫助學(xué)生記住剛才的各個知識點，在詳細講解完后，將矩陣乘法的相關(guān)運算規(guī)律和數(shù)的乘法進行對比總結(jié)，如下表：

教學(xué)實踐證明：這樣的教學(xué)安排，確實能夠易化學(xué)生矩陣乘法的學(xué)習(xí)，優(yōu)化學(xué)生學(xué)習(xí)效果。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 張志讓，劉啟寬.線性代數(shù)與空間解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2] 吳傳生，王衛(wèi)華.經(jīng)濟數(shù)學(xué)——線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)——線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4] 畢淑娟，張俊超.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程案例教學(xué)法探析[J].繼續(xù)教育研究，2012，（2）.

[5] 吳新中.工科院校通識教育課程實踐的問題與對策[J].教育研究與實驗，2009，（7）.

[責(zé)任編輯：左 蕓]