線性代數在經濟分析中的應用

[摘 要]線性代數在計算數學、運籌學、生物學、微積分、經濟科學、管理科學等眾多領域都有著廣泛的應用。經濟系統內各部門間是相互聯系、相互依存的，每個部門都具有雙重性：每個部門不僅向自身、其他部門及社會提供自己的產品或服務，同時在生產過程中都要消耗自身及其他部門提供的產品或服務。投入產出分析是一種行之有效的經濟數量分析方法，投入產出模型是國民經濟計劃工作的重要工具。在市場經濟條件下，投入產出分析被充分吸收到國民經濟核算體系中，具有重要的實踐意義

[關鍵詞]投入產出方法 直接消耗系數 完全消耗系數 技術結構矩陣

[中圖分類號] D151.2 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）11-0044-04

線性代數在計算數學、運籌學、生物學、微積分、經濟科學、管理科學等眾多領域都有著廣泛的應用，如矩陣是經濟研究和經濟工作中處理線性經濟模型的重要工具。著名的投入產出分析就是以線性代數理論為基礎的，是線性代數卓有成效的應用。投入產出方法可以進行經濟預測、研究某項經濟政策的實施將對社會經濟產生什么影響，還可以用于一些專門的社會問題研究（如環境污染問題、人口問題、世界經濟結構問題等）。 線性代數知識也是線性規劃問題研究的必備基礎。 計算數學中一切方法無例外地都以線性代數為基礎，從這個意義上，可以說線性代數是完全的應用學科。以下以投入產出方法為例，給出它在經濟分析中的應用實例。

投入產出分析是20世紀30年代由俄羅斯籍美國經濟學家列昂惕夫（ 1906～1999）首先提出的，是經濟分析的一種方法。粗略地說，就是產出某種產品，需要投入多少資源？

一、投入產出方法的基本原理

例1 鐵路建設的鋼材需求問題

建設一公里鐵路約需要用鋼材100噸，如果計劃增建3 000公里鐵路，需要鋼鐵部門增產多少鋼材？

分析：需要增產的鋼材是不是100×3000=300000（噸）呢？事實上并非如此。因為為了增建這三千公里鐵路，還需要增加采礦、煉鐵、煉鋼、軋鋼、電力、運輸等部門的生產能力，這些部門都需要增加對鋼材的需求，甚至擴大工人住宅也需要鋼材。 因此增建三千公里鐵路，遠遠不止需要30萬噸鋼材，必須統籌考慮各部門之間的關系，并進行綜合平衡。

投入產出分析就是對例1中這樣錯綜復雜的關系進行定量分析，使各部門能有計劃按比例地協調發展。 它是研究某一經濟系統中各部門之間的“投入”與“產出”關系的一種線性模型，一般稱之為投入產出模型，被廣泛的應用在微觀及宏觀經濟系統的平衡分析上，已成為進行現代化管理的重要工具。

“投入”是指從事一項經濟活動的各種消耗，其中包括原材料、設備、動力、人力、資金等的消耗；“產出”是指從事一項經濟活動的結果（若從事的是生產活動，產出就是生產的產品）。投入產出方法應用廣泛，以下介紹其基本原理及計算方法。

（一）價值型投入產出模型

經濟系統內各部門間是相互聯系、相互依存的，每個部門都具有雙重性：每個部門不僅向自身、其他部門及社會提供自己的產品或服務（即產出），同時在生產過程中都要消耗自身及其他部門提供的產品或服務（即投入）。 而經濟系統各部門之間的投入產出關系通常用投入產出表來描述。

（1）投入產出表

投入產出表分為實物型和價值型兩種。實物型投入產出表采用實物計量單位編制，其特點是經濟意義明確，適合于實際工作的需要；價值型投入產出表采用貨幣計量單位編制，其特點是單位統一，適合于對經濟系統進行全面的分析研究。以下為價值型投入產出表：

表1

■

其中xi表示第i個生產部門的總產出，xij表示第i個部門在生產過程中消耗第j個部門的產品數量，yi表示第個i部門的最終產品，zj表示第j個部門的新創造價值（i，j=1，2…，n）。

（2）平衡方程

（Ⅰ）產品分配平衡方程

為了保持一個經濟系統的正常運轉，必須保持投入與產出之間的平衡，從數量關系上看，就是要使xi、xij及yi滿足方程組：

x11+x12+…+x1n+y1=x1x21+x22+…+x2n+y2=x2……………………xn1+xn2+…+xnn+yn=xn

或簡寫成xi =■xij+yi（i=1，2…，n） （1）

它表明，每一個部門的總產出xi應等于該部門留著本部門使用的產品及在生產過程中流向其他各部門作為中間產品消耗的產品■xij和向社會提供的最終產品yi的總和。式（1）稱為部門間產品分配平衡方程。

（Ⅱ）生產消耗平衡方程

從投入產出表的縱列看，要保持一個經濟系統投入與產出之間的平衡，還要使xj、xij及zi滿足方程組：

x11+x21+…+xn1+z1=x1x12+x22+…+xn2+z2=x2……………………x1n+x2n+…+xnn+zn=xn

或簡寫成 xj =■xij+zj（j=1，2…，n） （2）

它表明，每一個部門的總投入xj應等于該部門所消耗的全部物資■xij以及新創造的價值zj之和。式（2）稱為部門間生產消耗平衡方程（或產值方程）。

（Ⅲ）投入產出均等方程

對產品分配平衡方程（1）兩邊求和，得

■xi=■（■xij+ yi）=■ ■xij+■yi （3）

對生產消耗平衡方程（2）兩邊求和，得

■xj=■（■xij+ zj）=■ ■xij+■zj （4）

由式（3）、（4），知■yi=■zj （5）

它表明，各部門向社會提供的全部最終產品應等于各部門新創造的價值。

式（1）、（2）和（5）反映了一個經濟系統達到平衡的條件，即投入與產出之間必須滿足的數量關系.

（二）直接消耗系數

為了充分反映各部門之間在生產技術上的數量依存關系，給出

定義1 第j部門每生產一個單位產品直接消耗第i部門的產品量，稱為第j部門對第i部門的直接消耗系數（或投入產出系數），記作aij，即

aij=■（i，j=1，2…，n）

換句話說，aij是第j部門每生產一個單位產品需要第i部門直接分配給它的產品數量。

各部門之間的直接消耗系數構成的n階方陣

■

稱為直接消耗系數矩陣。

各部門之間的直接消耗系數是以生產技術性聯系為基礎的，是相對穩定的，一般把它叫做技術系數。它反映了各部門之間的直接聯系的強度，aij的數值愈接近1，說明j部門與i部門的聯系愈密切；若aij的數值愈接近0，則說明j部門與i部門之間的聯系愈稀疏；當aij的值為零時，說明j部門與i部門之間沒有直接的生產與分配聯系。

由定義，直接消耗系數具有下列性質：

（1）所有元素均非負，且0≤aij<1（i，j=1，2…，n）；

（2）各列元素的絕對值之和均小于1，即 ■|aij|<1（j=1，2…，n）。

平衡方程組可以由矩陣來表示。

由aij=■，有xij=aijxj（i，j=1，2…，n） （6）

由式（6）及產品分配平衡方程組，有

a11x1+a12x2+…+a1nxn+y1=x1a21x1+a22x2+…+a2nxn+y2=x2…………………………an1x1+an2x2+…+annxn+yn=xn

或簡寫成xi =■aijxj+yi（i=1，2…，n） （7）

類似地，由式（6）及生產消耗平衡方程組，有

a11x1+a21x1+…+an1x1+z1=x1a21x1+a22x2+…+a2nxn+z2=x2…………………………a1nxn+a2nxn+…+annxn+zn=xn

或簡寫成xj =■aijxj+zj（j=1，2…，n） （8）

設向量、矩陣分別為

■

則方程組式（7）、式（8）可以分別寫成矩陣方程

X=AX+Y，X=CX+Z，

或（I-A）X=Y （9）

（I-C）X=Z （10）

其中X稱為總產品列向量，Y稱為最終產品列向量，Z稱為新創造價值列向量，C稱為中間投入系數矩陣，矩陣I-A稱為技術結構矩陣（或列昂惕夫矩陣）。

對角形矩陣C的主對角線上的元素■aij（j=1，2…，n），表示在第j部門的產值中，消耗各部門（包括本部門）提供給本部門的產品所占的比重。

在一定的技術水平和生產組織的條件下，直接消耗系數是相對穩定的，因此利用關系式（9）、（10）可以對下期計劃進行預測：

（1）如果已知總產品X，則由式（9）可求得最終產品Y；

（2）如果已知最終產品Y，則可證明矩陣I-A可逆，再由式（9）得總產品X，即X=（I-A）-1Y （11）

（3）如果已知總產品X，則由式（10）得新創造的價值Z；

（4）如果已知新創造的價值Z，則可證明矩陣I-C可逆，由式（10）（E-C）X=Z得總產品X，即X（I-C）-1Z （12）

在應用投入產出方法研究經濟問題時，具體計算通常借助電子計算機完成.

（三）完全消耗系數

在實際生產過程中，經濟系統各部門之間除了存在直接消耗關系以外，還存在著錯綜復雜的間接消耗關系.

例2 煉鋼電力的消耗問題

分析 （1）煉鋼需要消耗電力，這是煉鋼對電的直接消耗；

（2）煉鋼還需要消耗鐵和焦炭，煉鐵、煉焦也需要消耗電力，這可看作是煉鋼對電的一次間接消耗；

（3）煉鐵、煉焦需要消耗鐵礦石和煤，采礦、采煤又需要消耗電力，這可看作是煉鋼對電的二次間接消耗；

（4）制造以上各生產環節所需的設備都需要消耗電力……

如此分析下去，顯然可以找出煉鋼對電的更多次的間接消耗.將煉鋼對電的直接消耗與所有的間接消耗加在一起，就稱為煉鋼對電的完全消耗.

定義2 第j部門生產產品時通過其他部門間接消耗第i部門的產品稱為第j部門對第i部門的間接消耗，直接消耗與全部間接消耗之和稱為完全消耗.

定義3 第j部門生產單位產品時對第i部門完全消耗的產品量稱為第j部門的完全消耗系數，記作bij，即

bij =aij+■bikakj（i，j=1，2…，n） （13）

其中■bika表示間接消耗的總和.如果記B=（bij），則稱B為完全消耗系數矩陣.

于是，式（13）的矩陣形式為B=A+BA（或B（I-A）=A），則有

B=（I-A）-1-I （14）

式（14）表明，完全消耗系數矩陣B可由直接消耗系數矩陣A求出.

直接消耗系數反映的是各部門之間產品的直接消耗關系，而完全消耗系數則更全面地反映各部門之間相互依存、相互制約的關系. 完全消耗系數從最終產品量和總產品量的關系上闡明了經濟活動規律，準確、完整地反映了提供單位最終產品所引起的對各部門產品的需求量.這對于最終產品確定之后，預測各部門的總產量是非常有用的，對搞好綜合平衡具有重要的意義.

二、投入產出方法在經濟計劃工作中的應用舉例

（一）檢驗現有生產計劃方案的平衡性

在現有生產計劃方案中，當各部門的計劃總產值和計劃最終產品數額已經確定的情況下，如何檢驗這些計劃數值是否能使各部門保持正常的經濟活動，使各部門的部門比例保持平衡呢？一個比較有效的方法就是利用投入產出模型中的平衡方程，從數量上精確地檢驗生產計劃方案.

記xi，yi（i=1，2…，n）分別表示第i部門計劃期的計劃總產值和計劃最終產品數值.把xi（i=1，2…，n）代入投入產出模型中的產品分配平衡方程組，得到各部門的平衡最終產品數值，記作yi，即

xi-■aijxj=yi（i=1，2…，n），

然后再把各部門計劃最終產品數值yi與平衡最終產品數值yi用公式

δi =yi-yi=xi-■aijxj-yi （15）

進行比較，就能檢查到各部門計劃產值與計劃需求值的平衡狀況，并根據檢查結果對計劃方案進行適當的調整和修改.

（1）當δi >0時，表示第i部門的計劃產量超過計劃需求量，即供大于求， 稱之為余量；

（2）當δi <0時，表示第i部門的計劃產量不能滿足計劃需求量，即供不應求，稱之為有缺口；

（3）當δi ≈0時，表示第i部門的計劃產量與計劃需求量基本平衡.

各部門的絕對不平衡數額δi 是各部門計劃產量與計劃需求量平衡差額的確切數值，這些數值就是各部門的計劃需要調整的數量.當某一部門的不平衡數額很小時，則可以認為該部門的計劃量無需調整，該部門的計劃產量基本上是合理的，可行的.

例3 某一經濟系統有六個部門，已知該系統的直接消耗系數矩陣為

■

計劃最終產品數值Y=（800，1060，350，450，50，270）T，計劃總產品數值X=（150，1500，2000，500，200，300）T，試求不平衡數額，檢驗這項計劃是否合理.

解 根據式（15），計算可得

δ1=x1-■a1jxj-y1=-10，δ2=x2-■a2jxj-y2=0，

δ2=x3-■a3jxj-y3=-20，δ4=x4-■a4jxj-y4=30，

δ5=x5-■a5jxj-y5=-10，δ6=x6-■a6jxj-y6=0，

所以各部門不平衡額度為

δ=（-10，0，-20，30，-10，0）T，

故由不平衡數額可知，該生產計劃需要調整.

（二）調整現有生產計劃

例4 已知某經濟系統有三個生產部門，其完全消耗系數矩陣為

■

下一計劃期最終產品的計劃是Y=（90，70，160）T，試求：

（1）下一計劃期的計劃總產量；

（2）在計劃的執行過程中，如果發現第1部門產品有5個單位的余量，第3部門產品有10個單位的缺口，那么原計劃應如何調整？

解 （1）因為

■，

所以，由式（14）、式（11）得，下一計劃期的計劃總產量是

■；

（2）當最終產品的數量發生改變量ΔY=Y2-Y1時，則各部門間的總產品相應發生的改變量是ΔX=X2-X1（B+I）Y2-（B+I）Y1=（B+I）（Y2-Y1）=（B+I）ΔY

即 ΔX=（B+I）ΔY

將Y=（-5，0，10） T 代入上式，得

■，

所以，原計劃總產量應作如下調整

■

即三個部門調整后的總產量分別為x1=196.18，x2=402.543，x3=513.14.

投入產出分析是一種行之有效的經濟數量分析方法，投入產出模型是國民經濟計劃工作的重要工具.在市場經濟條件下，投入產出分析被充分吸收到國民經濟核算體系中，具有重要的實踐意義.

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 彭文學等.經濟應用數學—微積分[M].武漢：武漢工業大學出版社，1988.

[2] 馮翠蓮.新編經濟數學基礎[M].北京：北京大學出版社2005.

[3] 韓飛等.應用經濟數學[M].長沙：湖南師范大學出版社，2010.

[4] 李學銀等.線性代數（第3版）[M].武漢：華中科技大學出版社，2010.

[5] 龔友運等.高等數學（第3版）[M].武漢：華中科技大學出版社，2006.

[責任編輯：林志恒]