大學解析幾何課程的教學改革及其論證

[摘 要]解析幾何課程的教學研究與改革，對于綜合大學、師范院校的數學與應用數學、計算數學、概率統計以及信息與計算科學等專業的課程建設，具有重要的理論與實踐價值。應擴充解析幾何教學內容的理論依據的研究，增加保距變換與仿射變換內容之重要性與必要性的橫向比較求證，變傳統解析幾何教學內容中的以直角坐標系作主要參照系為以仿射坐標系作主要參照系。同時，重新確定教學學時，并對教材教法進行適當改革。

[關鍵詞]解析幾何 教材教法 教學改革 教學內容 教學大綱

[中圖分類號] G642.0 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）11-0109-02

解析幾何在數學專業的基礎課程中具有十分重要的地位，解析幾何課程的教學研究與改革，對于綜合大學、師范院校的數學與應用數學、計算數學、概率統計以及信息與計算科學等專業的課程建設，具有重要的理論與實踐價值。我校自三年前立項《解析幾何課程建設的系統教學研究》，深入多屆應用數學專業的學生和其他任課教師中進行調查研究，了解學生學習解析幾何課程的感受及體會，收集教學反饋信息，設計、實施了兩次問卷調查作研討求證，取得了豐碩的教改成果。本文僅將其主要的結論作簡略介紹。

一、關于改革解析幾何教學內容的研究

增加保距變換（亦稱正交變換）與仿射變換，在教學學時允許的情況下，再增加射影幾何初步內容。其理由基于如下兩方面的論證。

（一）擴充解析幾何教學內容的理論依據的研究

1.由于綜合大學的應用、計算數學等專業在其課程設置中，往往不另開設高等幾何（即射影幾何學）課程，也不開設微分幾何、幾何基礎和拓撲學，解析幾何是開設的專業基礎課中唯一的幾何學，故加強解析幾何的教學內容是十分必要的。

2.不學習仿射變換與保距變換，學生就只知解析幾何中有坐標變換這一方面，而不了解其中另一方面的重要變換——幾何變換，造成學生數學素質的一種缺陷。

3.不學習仿射變換與保距變換，就無從了解高等代數中線性變換的背景與淵源；因只知坐標變換，不知幾何變換，而不能全面理解線性變換的幾何意義，以及二次型的正交變換、一般的合同變換的幾何意義。

4.學習仿射變換與保距變換，有助于理解數學分析中重積分的線性變量代換的幾何意義并做進一步的應用，也有助于學習復變函數的解析映照并做進一步的應用。

5.保距變換與仿射變換作為最重要、最基本的實用幾何變換方法，具有十分重要的可應用性。其中，關于仿射變換由三點或仿射標架所確定，及其在二標架下點坐標具有不變性；關于仿射變換的變積系數及其確定等知識與方法，顯然十分重要，且能為學生進一步學好高等代數、數學分析、復變函數、泛函分析以及計算機圖形學奠定充實全面的數學基礎。

（二）增加保距變換與仿射變換內容之重要性與必要性的橫向比較求證

在傳統解析幾何教學內容的基礎上增加保距變換與仿射變換內容的重要性與必要性，可以通過其他院校數學專業開設的解析幾何課程的教學內容，以及著名的、或使用率較高的解析幾何教材的內容加以印證。

1.早在1961年，由我國著名數學家、數學教育家吳光磊、丁石孫、姜伯駒田疇等編著的教材，[1]為北京大學與眾多師范院校和綜合性大學的數學專業選作教材使用（20世紀60至80年代）。其內容的第9章即為正交變換與仿射變換。

2.南開大學數學系早在1978年3月所編的教材，[2]為南開大學多年作教材使用，內容包括歐氏幾何與仿射幾何、射影幾何簡介。

3.參考文獻[3]和[4]，是北京大學教師所編、由北京大學出版社出版的解析幾何教材（“九五”教育部重點教材），長期以來一直為北京大學數學系教學使用教材，也為眾多大學選作數學專業的解析幾何教材。教材[3][4]內容都包含保距變換與仿射變換、射影幾何學初步。

4.由武漢大學編寫并作為武漢大學本科生系列教材之數學專業基礎課教材的文獻[5]，其內容包括正交變換與仿射變換、射影幾何。

（三）變傳統解析幾何教學內容中的以直角坐標系作主要參照系為以仿射坐標系作主要參照系

1.在大多數解析幾何教材中，雖引進了仿射坐標系，但總是約定，非特別說明時，所采用的參照系均指直角坐標系。這樣使本課程教學（學習）的結果是，學生只形成了對直角坐標的印象，只習慣于、也只會使用直角坐標系。而以仿射坐標系為參照系，無疑更自然、更方便。

2.基于以上理由，在教材編寫與教學設計中，應將仿射坐標系作為基本的、一般的、普遍的參照背景或條件，即未作特別說明時，所用坐標系是一般的仿射坐標系；應首先在此一般條件下，研究圖形與其他問題的具有普遍性的性質與結論（可稱作仿射特征或仿射性質），之后，作為補充、特殊情況或進一步研究，再在特殊的仿射坐標系——直角坐標系下，研究圖形與問題的性質與結論（可稱作度量特征或度量性質）。

3.為明確區別起見，將基本的、作為一般研究環境的仿射坐標系及其標架，均用標架[O；■，■，■]來表示，而將問題研究的特殊環境的直角坐標系及其標架用標架[O；■，■，■]來表示，以示區分。

二、關于解析幾何課程所需教學學時量的研究與確定

我校自2000年起開設數學專業基礎課解析幾何以來，至2005年，所用教材為參考文獻[6]，內容主要是空間解析幾何與平面圓錐曲線的一般討論，采用56學時制和64學時制教學。自2006級起至今，增加了保距變換與仿射變換的教學內容，采用56學時制教學。通過對三個年級（應數1001-1201）學生的問卷調查結果進行分析，基于學習解析幾何的感受（56學時），85%的學生認為學時不足，應增加教學課時，多數人傾向于增加8學時，即增加至64學時。

三、關于解析幾何在三門數學基礎課中開設先后次序的分析研究

大學數學與應用數學專業基礎課之數學分析、高等代數和解析幾何開課時間上的先后次序，在教學實踐中我校一直是三門課都在大一第一學期同時平行開設。解析幾何主要是有代數方法研究幾何圖形的數學。解析幾何知識體系的形成以及對問題的分析、推理、論證、計算與求解低速低效，還要補充學習部分簡單的高等代數（主要是行列式、矩陣和線性方程組）的知識與方法，這大大影響了學生學習的效率與效果。事實上，學習解析幾何所需的高等代數知識與方法較多，涉及高等代數前五至六章的內容。學生普遍認為高等代數須先于解析幾何開課，為解析幾何預備行列式、矩陣、線性方程組等必備的代數基礎，提供高效、快捷、實用的代數方法或工具，再開設解析幾何才更科學合理。

四、關于解析幾何課程教學大綱與教學日歷的修訂

解析幾何課程教學大綱與教學日歷的修訂需圍繞著前述一至三點進行，依其結論為據，既要適應其要求，又須達到其目標。按已先修過必要的高等代數的知識與方法的前提條件（參見本文第三點），取消補充部分線性代數知識與方法的相關教學內容、教學要求等，并依據學生具備這樣的數學基礎與知識結構，修訂課程的教學要求、教學設計，以及各部分內容分別所需的恰當的教學時間量，使學時的安排分配更科學合理。按解析幾何課程總的教學時間為64學時制，重新設計安排分配各章節所有教學學時，修訂教學大綱與教學日歷。

五、關于解析幾何教材教法的改革設計

將仿射坐標系作為主要的基本的參照系，在此前提條件下，組織、建立解析幾何內容體系，設計教材與教法。基于解析幾何與高等代數開設時序的改革設計，高等代數先于解析幾何在一至二學期開設，此時學生已具備基本的線性代數知識、方法與能力，故我們的解析幾何教學設計與教法，可以充分利用代數的矩陣、行列式、線性方程組等符號、語言、方法作為工具、手段，進行表示、描述、推導與運算，充分體現解析幾何是以代數方法研究幾何的方法論特征。用數學思想方法組織解析幾何的理論體系與結構，使該學科知識主線有秩序化、理論性的清晰結構，凸顯數學美學特征。

在項目結題總結中，逐章逐節給出了具體教學設計，包括如增加向量的平行六面體法則與多邊形法則，引用向量的線性相關與線性表出概念，給出一至四個三維向量線性相關的幾何意義的四個結論，強化簡單比的概念和作用，對曲線曲面的方程的概念采用“自下而上”的方式教學，而對柱面、錐面、旋轉面方程則采用“自上而下”的方式教學，在一般二次曲線的仿射性質的研究中，引入虛“元素”并凸顯其幾何意義與作用。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 吳光磊等編.解析幾何[M].北京：人民教育出版社，1961.

[2] 南開大學數學系編.空間解析幾何引論[M].北京：人民教育出版社，1978.

[3] 丘維聲編.解析幾何[M].北京：北京大學出版社，1996.

[4] 尤承業編.解析幾何[M].北京：北京大學出版社，2004.

[5] 楊文茂，李全英編.空間解析幾何[M].武漢：武漢大學出版社，1997.

[6] 江蘇師范學院數學系編.解析幾何[M].北京：人民教育出版社，1960.

[責任編輯：劉鳳華]