打開交叉問題的鑰匙

在排列組合中，有時會遇到交叉問題，很容易計算重復或遺漏，這時可以用集合的韋恩圖來幫助我們解決這類問題。

例1..已知A=x|0？蕎？詖■x<3，x∈N，B=x|x-7<3，x∈N

（1）從集合A和B中各取一個元素，作為直角坐標系中點的坐標，共有多少個點？

（2）從集合A中取出一個元素，從集合B中取出2個元素，可以組成多少個無重復數字的三位數？

解：A=1，2，3，4，5，6，7，B=5，6，7，8，9

（1）如圖（1），從集合A中一個元素，分兩類：

一類在A∩C■B=1，2，3，4中選，有C■■C■■A■■=40個不同的點。

另一類在A∩B=5，6，7選，此時在集合B中取一個元素，有兩種情況，在A∩B=5，6，7中選或在B∩C■A=8，9中選。當在A∩B=5，6，7中選時，橫坐標與縱坐標相同時，有C■■=3個坐標，即（5，5），（6，6），（7，7），橫坐標與縱坐標不相同時，有A■■=6個坐標，共有C■■+A■■=9個。當B∩C■A=8，9中選時，C■■C■■A■■=12這一類中，由分類計數原理得共有C■■+A■■■+C■■■■C■■A■■■=21個。

由分類計數原理得，共有C■■C■■A■■+C■■+A■■+C■■C■■A■■=61個。

（2）如圖（1），從集合A中一個元素，分兩類：

一類在A∩C■B=1，2，3，4中選，有C■■C■■A■■=240個不同的點。

另一類在A∩B=5，6，7選，此時在集合B中取兩個元素，有三種情況，在A∩B=5，6，7中選兩個或一個或不選。當在A∩B=5，6，7中選兩個時，有A■■=6種。當在A∩B=5，6，7中選一個時，有C■■C■■A■■=36種。當在A∩B=5，6，7中不選時，有C■■C■■A■■=18種。這一類中，由分類計數原理得共有A■■+C■■C■■A■■+C■■C■■A■■=60個。

由分類計數原理得，共有C■■C■■A■■+A■■+C■■C■■■A■■+C■■C■■A■■=300

個。

例2.10名演員，其中5名能歌，8名善舞，從中選出5人，使這5個人能演出一個由1人獨唱，4人伴舞的節目，共有多少中選法？

解：如圖（2），集合A表示能唱歌的，集合B表示能跳舞的，有3個人能歌善舞。

從集合A中一個獨唱的，分兩類：

一類在只會唱歌的人中選，有C■■C■■=140種；

另一類在選3個人能歌善舞中選，有C■■C■■=105種，這里與例1不同，因為人不同，唱歌和跳舞不同，這樣計算C■■C■■+C■■C■■+C■■C■■=105，也一樣。

由分類計數原理得，共有個C■■C■■+C■■C■■=245。

例3.某一天的課程表要排入政治、語文、數學、物理、體育、美術共六節課，如果第一節不排體育課，最后一節不排數學，那么共有多少種不同排課表的方法？

解：六門課程總的排法是A■■，其中不符合要求的可分為：體育課排在第一節有A■■種排法，如圖（3）中A；數學課排在最后一節有A■■種排法，如圖（3）中B；但這兩種方法都包括體育課排在第一節數學排在最后一節，如圖（3）中A∩B，這種情況有A■■種排法，因此符合條件的排法應是A■■-2A■■+A■■=504種。

在排列組合中，交叉問題用集合法，恰當地分類，先選后排。

例4已知全集I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B？哿I，當時A∩B=1，2，3時，稱（A，B）為“理想集合對”，那么這樣的“理想集合對”共有（ ）

（A）36種 （B）63種

（C）3■種 （D）6■種

分析：畫集合的韋恩圖，全集被分成了（1）A∩C1B、（2）B∩C1A、（3）A∩B、（4）C1（A■B）個區域，只有區域（3）確定了，還剩下4，5，6，7，8，9六個元素，可以填在（1）、（2）、（4）的任何一個區域，每一個元素有3種方法，六個元素共有36種方法，選（C）。

例4、（2008·重慶·9）如解（9）圖，體積為V的大球內有4個小球，每個小球的球面過大球球心且與大球球面有且只有一個交點，4個小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個頂點，V1為小球相交部分（圖中陰影部分）的體積，V2為大球內、小。球外的圖中黑色部分的體積，則下列關系中正確的是

（A）V1>■ （B）V2<■ （C）V1>V2 （D）V1

分析：設小球的半徑為r，則大球的半徑2r，V=■2r■=8×■r■=24×■r■

而V=V■+4×■r■-V■=V■+■-V■，V■-V1=■>0，

故選（D）。