基于貝葉斯概率問題的思維框架建構研究

摘要：基于科學推理量表“Lawson test”中的貝葉斯概率問題，通過對5～8年級的18名中小學生和大學二年級的14名大學生進行訪談，探尋了他們在解題時的科學思維過程。依據學生解決貝葉斯概率問題的思維路徑，將學生的認知過程分為三大類，并建構了相應的思維框架。該思維框架的建構為評估學生的科學推理能力提供了一定的理論基礎，同時也對教師的教學設計提出了參考意見。

關鍵詞：貝葉斯理論；思維框架；科學推理

作者簡介：謝麗（1980-），女，湖北潛江人，長江大學物理科學與技術學院，講師，美國俄亥俄州立大學訪問學者。（湖北 荊州 434023）包雷（1969-），男，美國俄亥俄州立大學物理系，教授。（俄亥俄州 哥倫布 43210）

基金項目：本文系國家雙語示范課程《力學》項目（項目編號：教育部教高函〔2010〕11號）、長江大學教學研究項目（項目編號：JY2012005）的研究成果。

中圖分類號：G645 文獻標識碼：A 文章編號：1007-0079（2013）35-0205-02

近年來科學推理能力的重要性受到了世界范圍內的廣泛關注，許多研究者和教育者投身到了對學生科學推理能力的研究中。[1-3]然而現有的文獻研究通常是以測量分數來定量評估學生的科學推理能力，無法進一步分析學生運用推理能力解決問題的整個過程，[1-6]同時單純測量結果的對錯也不能準確反映學生思維水平和能力的高低。基于以上原因，本文以科學推理測試卷中的貝葉斯概率問題為例，通過對學生的訪談，討論、分析學生解決問題的思維路徑，建構推理過程中的思維框架，為評估學生科學推理能力提供了理論依據，同時該框架也可以作為教師在教學設計過程中的參考工具。

解決概率統計問題時，學生運用到的科學推理能力為演繹推理和歸納推理。演繹推理是從一般的原理出發，推出某個特定情況下的結論，即從一般（規律）到特殊（現象）的推理過程。歸納推理是指以個別或特殊認識為前提推出一般性結論的推理，即從特殊（現象）到一般（規律）的推理過程。[7]通過對學生推理過程中的思維框架的建構，發現在進行演繹推理時，學生只需要將習得的理論運用到實際任務當中，不需要建構新的理論，知識沒有實質性的增長；而歸納推理則需要學生把觀察的現象與已有的知識相結合，構建新的理論，所以學生在進行歸納推理時要比演繹推理更為困難。

一、測試和訪談過程

1.被試的選取

本項目從參加科學推理能力測試的數千名學生中選取了32名學生進行小范圍訪談，其中5～8年級的學生18名（男生8名，女生10名）；本科二年級的學生14名（男生10名，女生4名）。被試的選取依據概率統計中的分層法，且學生的選擇結果覆蓋所有的選項，訪談的內容只涉及科學推理能力測試卷中的概率推理題。

2.具體測試題目

一天你旅游到了某個國家，發現那里有很多人在玩一種投擲游戲。投擲物體是手工雕刻的粗糙六面體，其中三面印有黑色圖案，另外三面印有白色圖案。你發現當六面體被拋了一百次以后，朝上一面出現白色圖案的次數是72，出現黑色圖案的次數是28。如果用這個六面體再投擲100次，你認為朝上一面出現白色圖案的大概次數最可能是多少？

a.大約 30 次

b.大約 50 次

c.大約 70 次

d.由于這是不確定事件，我們不能預測出現白色圖案的次數，只知道每一次朝上一面出現的不是白色就是黑色圖案

e.以上都不對

3.訪談的內容

對所有被試的訪談進行了錄像，且被試需要依次回答表1中的五個問題。

表1 訪談中的五個問題

序號具體問題

1你的選項是什么？

2你怎么推斷出這個結果的？

3你關注到題目中的數據“白色圖案的次數是72，出現黑色圖案的次數是28”？

4你關注到了題目的信息“投擲物體是手工雕刻的粗糙六面體”了？

5你的確定程度是多少？（0～10）

二、思維框架的建構

通過訪談，可以把學生的思維過程分為關注理論、關注數據和混合態三種類別，以及10條子路徑。這三種類別的10條思維路徑既可以單獨存在又可以交叉并存、相互組合，形成很多種思維模型。

1.關注理論類型

圖1為關注理論的學生思維框架，從框架中可以看出這類學生只運用了演繹推理來解決問題，他們只是將習得的理論運用到實際任務當中，沒有建構新的理論，知識沒有實質性的增長。而且當他們發現實際情況與原有的理論不相符時，他們往往以原來的知識理論為指導，忽略實際情況或者用已有的知識生搬硬套來解決實際問題。說明學生在學習概率和統計的相關知識時，相關的理論結果對他們有很深的影響。路徑（1）表示學生只有隨機的概念沒有統計的概念，所以無法得到結果。路徑（2）和路徑（3）表示學生有統計概念的知識背景，他們認為出現黑白圖案的事件是隨機的，每次拋擲都是獨立事件，不受其他次的影響，但是出現黑白圖案概率的可能性是相等的，即P=1/2。由于學生不會運用公式P*T=F，或者認為總數為100次的投擲次數太少而不能推出最后的結果。對于路徑（4）和路徑（5），學生運用演繹推理來判斷結果，其中路徑（5）是把前后兩次的投擲次數看成是一個整體來判斷。

2.關注數據類型

圖2為關注數據的學生思維框架。路徑（6）表示學生關注到的數據，但是他們并不能解釋得到結論的具體原因，只是簡單的認為兩個100次的結果應該類似。而路徑（7）表示當學生發現前100次的投擲中白色圖案出現的次數為70次時，學生會考慮為什么出現的結果與以前學到的理論知識不同，然后從已知的結果中歸納、推理并建立新的理論，得出造成這一結果的原因可能是這個手刻的骰子并不是均勻的。該過程就是貝葉斯理論中的“執果尋因”的過程，是由現象到規律的過程。因此，在判斷下一個100次的拋擲情況時，學生將所總結出來的結論——骰子不均勻，通過演繹推理運用到新的100次中，繼而得到正確的結果，即白色圖案出現的概率大概為70次。

3.混合態類型

圖3為混合態的學生思維框架。該狀態介于第一類和第二類之間，既對數字敏感又受到原有知識的影響。當產生認知沖突時學生無法判斷，思維路徑則如路徑（8）所示。如果原來的理論知識占主導地位，認為以前學到的概率統計知識50%的結論可能正確的，則思維路徑返回到路徑（9）；反之，若在原有理論和實際數據間更傾向于數據，則思維路徑為（10）。

三、結論和建議

1.探究原因

通過對學生們的訪談，對學生解決問題的思維路徑和建構推理過程中的思維框架進行細致分析，可以發現學生存在以下幾方面問題：一是遇到問題時，習慣于從原有的理論知識系統中找尋相關的對應理論來解決問題，即傾向用演繹推理的思維方式來解決問題。二是對拋擲結果的期望值不會推理，即知道概率但是得不到結果。三是粗淺的記住了投擲問題次數越大概率越接近50%。只是將學過的原理驗證現有的問題，并不知道產生原理的機理（對稱條件）是什么，導致面對機理“粗糙的六面體”時，學生根本不會運用歸納推理來建立新的理論。四是置信區間大小的問題。部分學生認為100次的投擲總數太小不足以支持其建立理論。

導致該問題出現的原因實際上是在貝葉斯概率問題里面包含了7個理論模塊：獨立概率、聯合概率、不確定性、大數定律、期望值、樣本抽樣實驗值和本征機理。只有把7個模塊全部理解，才能真正解決該題目，以及實際生活中的類似問題。但是在教學過程中，教師往往只注重其中較少的幾個模塊，導致大部分學生沒有形成完整的框架。從而造成在解決問題時，學生只是用部分的、片面的理論知識來進行演繹推理，而不會運用歸納推理來總結新的理論，并將新理論運用到實際問題中進行演繹推理得出結果。

2.教學建議

通過思維框架的建構不難看出，學生首先是運用已有的理論知識來解決問題，并通過演繹推理來得到結果。但是當觀察到的事實與原有理論矛盾時，學生則應該運用歸納推理從特殊事件中總結出新的規律來解決問題。研究表明，學生在認知沖突中進行學習能夠獲得更多的知識，有助于能力的提高。[8，9]因此在教學中，教師在強調演繹推理能力的同時也要注重歸納推理能力的培養。

參考文獻：

[1]Lawson A E.Development and validation of a classroomtest of formal reasoning[J].Journal of Research in Science Teaching，1978，15（1）：1-24.

[2]Lawson，A.E.Development and validation of the classroom test of formal reasoning[J].Journal of Research in Science Teaching，2000，15（1）：11-24.

[3]Bao Lei，CaiTianfang.Learning and scientific reasoning[J].Science，2009，323（1）：586-587.

[4]魏昕，郭玉英，徐燕.中小學生科學推理能力發展現狀研究——以北京市中小學生為樣本[J].北京師范大學學報（自然科學版），2011，47（5）：461-464.

[5]楊燕，郭玉英，魏昕，等.高師理科教學與學生科學推理能力的培養[J].教育學報，2010，（2）：42-45.

[6]張軼炳，白明俠，黃昭，等.中美大學生科學推理能力差異的調查研究[J].咸陽師范學院學報，2011，（2）：112-115.

[7]Hamers，J.H.M.，De Koning，E.， Sijtsma，K..Inductive reasoning in the third grade：intervention promises and constraints[J].Contemporary Educational Psychology，1998，23：132-148.

[8]Klauer，K.J.，Willmes，K.， Phye，G.D..Inducing inductive reasoning：does it transfer to fluid intelligence？[J].Contemporary Educational Psychology，2002，27：1-25.

[9]Constantinos Christou，Eleni Papageorgiou.A framework of mathematics inductive reasoning[J].Learning and Instruction，2007，17：55-66.

（責任編輯：孫晴）