“精神實(shí)體”：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值的新視角

有幸在一次小學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師論壇上聽(tīng)到孫曉天教授作了一場(chǎng)題為《關(guān)于數(shù)學(xué)課程走向的思考》的精彩報(bào)告，報(bào)告中闡述了對(duì)課程改革所面臨的目標(biāo)價(jià)值取向的思考，提出數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)有兩個(gè)，即“精神實(shí)體”和“實(shí)體”。這個(gè)觀點(diǎn)來(lái)自弗賴登塔爾的學(xué)說(shuō)，認(rèn)為“精神實(shí)體”比“實(shí)體”更加重要。如果我們從這個(gè)角度進(jìn)一步審視數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)價(jià)值，就會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容對(duì)于兒童來(lái)說(shuō)只是一個(gè)實(shí)體，我們更要引導(dǎo)兒童去觸摸、感受實(shí)體背后的精神實(shí)體，也只有讀出數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的“精神實(shí)體”，才能讓兒童體悟到數(shù)學(xué)課程的博大與美妙。

第一，“精神實(shí)體”是相對(duì)于“物質(zhì)實(shí)體”存在的。從哲學(xué)的角度審視，精神是永恒的存在，是相對(duì)于物質(zhì)存在的，它是無(wú)形的實(shí)體，并透過(guò)有形顯現(xiàn)自己，體驗(yàn)自己，內(nèi)在的我們同屬于這個(gè)精神實(shí)體，是這個(gè)精神實(shí)體的一部分，并具有這個(gè)精神實(shí)體的全部屬性。思想不是精神實(shí)體的全部，而是精神實(shí)體于有形中的投影和顯現(xiàn)。正如對(duì)樹(shù)的描述永遠(yuǎn)不是樹(shù)本身一樣，無(wú)論思想對(duì)精神實(shí)體的描述多么逼真，它也永遠(yuǎn)不是精神實(shí)體。數(shù)學(xué)內(nèi)容中的精神實(shí)體是相對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容本身存在的，它是數(shù)學(xué)的根本，是數(shù)學(xué)的靈魂，它指引著數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)內(nèi)涵與脈絡(luò)趨向。

第二，兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，更多的應(yīng)該是理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的“精神實(shí)體”。弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育應(yīng)該尊重?cái)?shù)學(xué)的傳統(tǒng)，按照歷史的本來(lái)面目，根據(jù)數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律來(lái)進(jìn)行。那么兒童眼中的數(shù)學(xué)是什么？他們也許會(huì)感覺(jué)到：“1”能概括世間萬(wàn)物，這是多么石破天驚的事！a+b=b+a，看似簡(jiǎn)單的等式卻包含了萬(wàn)千加法算式的規(guī)律等等。由此看來(lái)，數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展本身就是一個(gè)數(shù)學(xué)化的過(guò)程，是由“物質(zhì)實(shí)體”向“精神實(shí)體”發(fā)展的過(guò)程，兒童在認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善過(guò)程中不斷觸摸數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而走入數(shù)學(xué)內(nèi)容的“精神實(shí)體”之中。

第三，兒童理解數(shù)學(xué)的“精神實(shí)體”，就是他們渴望經(jīng)歷體驗(yàn)的過(guò)程。在弗賴登塔爾看來(lái)，人們總是希望兒童自己會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)為具體問(wèn)題建造新的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)該說(shuō)，數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)就在于使兒童學(xué)會(huì)主動(dòng)進(jìn)行“數(shù)學(xué)地思考”。人類智慧的推進(jìn)，同時(shí)也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，如果能讓兒童經(jīng)歷數(shù)學(xué)創(chuàng)生、發(fā)展和更新的過(guò)程，引導(dǎo)兒童回歸數(shù)學(xué)本身，回歸數(shù)學(xué)方法、思想、精神等層面，著力孕育兒童數(shù)學(xué)的眼光和素養(yǎng)，著力體會(huì)那銘刻于心的“推理方法、研究方法、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)精神”等等，對(duì)于兒童的終身發(fā)展將受益無(wú)窮。

數(shù)學(xué)課堂追求“精神實(shí)體”的教學(xué)主張是數(shù)學(xué)課堂的必然歸宿，也是數(shù)學(xué)教育價(jià)值的根本體現(xiàn)。那么，怎樣才能更好地實(shí)踐“精神實(shí)體”的教學(xué)思想呢？筆者以為，不妨可以從以下三個(gè)方面進(jìn)行嘗試。

一、讓兒童觸摸數(shù)學(xué)知識(shí)中的“精神實(shí)體”——向兒童展現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)果的本來(lái)面目

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是兒童主動(dòng)的建構(gòu)活動(dòng)，學(xué)習(xí)應(yīng)與一定的情境相聯(lián)系。基于這種教學(xué)理念，很多教師總喜歡在課堂上營(yíng)造一些數(shù)學(xué)教學(xué)情境，但這種情境一般過(guò)于注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的外在形式，很少觸及數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。而數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)是一種過(guò)程，更是一種創(chuàng)造，是一種積淀，更是一種傳承，是一種自由，更是一種矛盾。它不是隨心所欲的編造，也不是任意一個(gè)個(gè)體的規(guī)定，更多的是一種結(jié)構(gòu)的生長(zhǎng)與完善。

當(dāng)兒童在閱讀數(shù)學(xué)知識(shí)、習(xí)得數(shù)學(xué)技能時(shí)，他們的內(nèi)心世界是多么渴望知道數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)源！他們迫切地希望了解數(shù)學(xué)知識(shí)的本來(lái)面目，探索數(shù)學(xué)知識(shí)存在的原因是什么，產(chǎn)生的過(guò)程又是怎樣的，從而觸摸到數(shù)學(xué)的“精神實(shí)體”。因而我們的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該竭力讓兒童觸及數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，感受來(lái)源，體驗(yàn)產(chǎn)生過(guò)程，感受數(shù)學(xué)的博大與前人的情懷。兒童在這種數(shù)學(xué)情境的熏染下，會(huì)更加洞悉數(shù)學(xué)的本來(lái)面目，更能啟迪兒童的數(shù)學(xué)智慧。

【案例1】用數(shù)對(duì)確定位置

師：同學(xué)們，這節(jié)課我們從游戲開(kāi)始，注意看這個(gè)圖。你能描述一下小球的位置嗎？

師：如果是下面這種情況，怎樣確定它的位置呢？（生用多種方式進(jìn)行描述）

師：能否用一種統(tǒng)一的方法來(lái)確定小球的位置呢？（生討論得出：注上列、行的標(biāo)志）

師：其實(shí)數(shù)學(xué)還需要想象，我們可以把這些圓形看成一個(gè)個(gè)小點(diǎn)。

師：如果再用線把這些點(diǎn)串連起來(lái)，不就是一張網(wǎng)格圖嗎？為了更加科學(xué)，再把表示列與行的起點(diǎn)畫出來(lái)，形成了一個(gè)完整的列行網(wǎng)格圖。

師：左下角有個(gè)點(diǎn)，能用數(shù)字表示嗎？為什么是0？（起點(diǎn)、原點(diǎn)）

師：現(xiàn)在你能用列與行描述任意一點(diǎn)的位置嗎？

參閱不同版本教材對(duì)這一內(nèi)容的編排，年級(jí)各不相同，內(nèi)容卻大同小異，都選擇了以座位圖作為情境引入。而張奠宙教授認(rèn)為：“笛卡爾發(fā)現(xiàn)解析幾何是數(shù)學(xué)上一個(gè)巨大的進(jìn)步，也是人類歷史上一個(gè)重大的進(jìn)步。一個(gè)幾何的對(duì)象，他可以用數(shù)來(lái)描寫，而數(shù)所滿足的關(guān)系就是方程。我們小學(xué)里面先學(xué)第一步，就是把坐標(biāo)建立起來(lái)。”從“精神實(shí)體”的教學(xué)主張來(lái)思考，應(yīng)該體現(xiàn)“用數(shù)對(duì)確定位置”的真正價(jià)值，思考數(shù)對(duì)思想的核心要素，讓兒童感受“用數(shù)對(duì)確定位置”產(chǎn)生的過(guò)程。這里的產(chǎn)生過(guò)程并不是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)故事的堆積，而是對(duì)數(shù)對(duì)產(chǎn)生的背景、思想、原理、價(jià)值等要素的感觸。本節(jié)課的教學(xué)，沒(méi)有循規(guī)蹈矩創(chuàng)設(shè)生活情境，而是直接在兒童心中建立數(shù)對(duì)的“精神實(shí)體”——坐標(biāo)原型，感受數(shù)對(duì)的數(shù)學(xué)原貌，感受數(shù)對(duì)與坐標(biāo)圖的關(guān)系，從而讓學(xué)生的理解更加逼近數(shù)對(duì)思想的本質(zhì)，明白數(shù)對(duì)的起源，掌握數(shù)對(duì)的核心價(jià)值，進(jìn)而上升到對(duì)數(shù)對(duì)“精神實(shí)體”的認(rèn)識(shí)。

二、讓兒童觸摸過(guò)程體驗(yàn)中的“精神實(shí)體”——向兒童呈現(xiàn)數(shù)學(xué)成長(zhǎng)的高遠(yuǎn)價(jià)值

既要關(guān)注兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果，也要關(guān)注兒童的學(xué)習(xí)過(guò)程，幫助兒童積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這已成為很多教師的共識(shí)。但兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中所獲得的經(jīng)驗(yàn)，更多的是在教師的指令下完成的，表面看兒童的確經(jīng)歷了一個(gè)自主探究的過(guò)程，但他們常常對(duì)這一過(guò)程是怎樣發(fā)生的“毫不知情”。應(yīng)該說(shuō)兒童的主動(dòng)體驗(yàn)過(guò)程是不可或缺的，我們不僅僅要讓他們經(jīng)歷這些過(guò)程，還要向他們充分呈現(xiàn)過(guò)程的價(jià)值，通過(guò)過(guò)程的展示感受到其中所蘊(yùn)含的“精神價(jià)值”。

1.多元審視過(guò)程價(jià)值

當(dāng)我們面對(duì)每一個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)，應(yīng)該置身于兒童的學(xué)習(xí)環(huán)境，從兒童的視角去思考問(wèn)題，分析這一內(nèi)容在兒童知識(shí)體系中的地位和價(jià)值，需要理解和掌握到何種程度，會(huì)遇到怎樣的困惑和障礙，對(duì)以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可能產(chǎn)生怎樣的影響，給思想方法的體悟留下怎樣的痕跡等等。因此，我們?cè)跍?zhǔn)備教學(xué)過(guò)程時(shí)，應(yīng)該引導(dǎo)兒童去體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)展脈絡(luò)，挖掘歷史上產(chǎn)生這種數(shù)學(xué)知識(shí)的思想根源，從而進(jìn)行適度的知識(shí)結(jié)構(gòu)的擴(kuò)張。

【案例2】認(rèn)識(shí)圓周率

教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)，教師通常會(huì)讓學(xué)生先測(cè)量幾個(gè)大小不同的圓片的周長(zhǎng)和直徑，并計(jì)算出它們的比值，在此基礎(chǔ)上，提示“這個(gè)比值”是固定不變的數(shù)，這個(gè)數(shù)就叫做圓周率。但學(xué)生測(cè)量下來(lái)誤差總是很大。

而祖沖之等數(shù)學(xué)先輩們并不是采用這樣的方法把圓周率的值精確到7位小數(shù)的，現(xiàn)代科技已經(jīng)能夠應(yīng)用計(jì)算機(jī)把圓周率的值計(jì)算到上億位小數(shù)，這一過(guò)程又有著怎樣的變化呢？帶著這些問(wèn)題，我讓學(xué)生去主動(dòng)理解、探究圓周率的本質(zhì)，充分挖掘這一內(nèi)容的教學(xué)價(jià)值。事實(shí)證明，這樣的挖掘，可能比單純的告訴與簡(jiǎn)單的動(dòng)手測(cè)量更有意義。

2.適度提升活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中所形成的感性知識(shí)、情緒體驗(yàn)和應(yīng)用意識(shí)，它留給兒童的是不太嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹⑷狈γ魑Y(jié)構(gòu)的體系，但對(duì)于兒童理解數(shù)學(xué)的“精神實(shí)體”卻有著莫大的作用。適度提升學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的基本經(jīng)驗(yàn)，既能加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和規(guī)律的理解，更有利于兒童的思維產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性的飛躍。

【案例3】異分母加減法

先讓學(xué)生自主探究■+■的計(jì)算方法，聯(lián)系舊知嘗試練習(xí)后，體驗(yàn)探究過(guò)程：

（1）展示學(xué)生資源，體驗(yàn)過(guò)程方法。學(xué)生的方法有：①把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)進(jìn)行計(jì)算；②利用圓形圖片進(jìn)行等分涂色計(jì)算出結(jié)果；③轉(zhuǎn)化為同分母進(jìn)行計(jì)算；④同時(shí)進(jìn)行反例判斷，■+■=■，對(duì)嗎？

⑵利用精彩資源，比較方法實(shí)質(zhì)。師：剛才我們把■和■轉(zhuǎn)化成圖形，還可以通分成同分母分?jǐn)?shù)，仔細(xì)觀察一下，它們之間有聯(lián)系嗎？引出轉(zhuǎn)化的方法。

⑶及時(shí)延伸資源，體驗(yàn)方法價(jià)值。你能用這樣的方法來(lái)解決■-■和■+■嗎？在計(jì)算方法的比較中，引出異分母加減法的核心方法。

數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)得必須經(jīng)歷一個(gè)平衡、不平衡、平衡的過(guò)程，如果直接從平衡跳到平衡，會(huì)讓兒童對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的推導(dǎo)過(guò)程處于一種被接受的狀態(tài)，他們不會(huì)去思考“為什么這樣做”“這樣做有什么價(jià)值”“還能怎樣做”，原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)與新知之間并沒(méi)有合理對(duì)接。上面的教學(xué)過(guò)程讓兒童充分理解異分母加減法用通分方法的緣由，通過(guò)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累、過(guò)程方法的體悟，認(rèn)識(shí)到轉(zhuǎn)化思想的巨大作用及多種表現(xiàn)形式，讓兒童獲取可生長(zhǎng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)、可再生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使得知識(shí)技能的習(xí)得成為體驗(yàn)過(guò)程的附加值，而不是“終極目標(biāo)”。

3.巧妙延伸探究方向

數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究總是隨著研究的驅(qū)動(dòng)而不斷引向深入，從而觸摸到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。如果在教學(xué)過(guò)程中能夠緊緊抓住問(wèn)題的本質(zhì)進(jìn)行合理的拓展與延伸，不僅可以有效激發(fā)學(xué)生的好奇心與求知欲，更能啟發(fā)兒童自覺(jué)投入積極的思維，融數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)傳統(tǒng)和數(shù)學(xué)思維于一體，對(duì)于兒童感悟數(shù)學(xué)思想方法后的“精神實(shí)體”有著獨(dú)特的作用。

【案例4】找規(guī)律“一一間隔”

在教學(xué)時(shí)，教師一般引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、分析、思考、交流等活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)“一一間隔”的現(xiàn)象及規(guī)律，再進(jìn)行一些規(guī)律的應(yīng)用與變式練習(xí)，我們還可以思考這一規(guī)律的“精神實(shí)體”是什么。“一一間隔”排列的兩種物體數(shù)量之間通常存在三種關(guān)系：A比B多1，A比B少1，A與B相等。為什么會(huì)有這樣的三種關(guān)系？可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：是不是所有這樣的現(xiàn)象中都藏著這樣的規(guī)律呢？再通過(guò)擺小棒和棋子等操作活動(dòng)（不限首尾相等）來(lái)驗(yàn)證這一規(guī)律。在驗(yàn)證過(guò)程中，再進(jìn)行追問(wèn)：①思考在怎樣的情形之下，會(huì)有這些關(guān)系？②為什么會(huì)有這樣的規(guī)律？當(dāng)兒童運(yùn)用“一一對(duì)應(yīng)”的思想描述數(shù)學(xué)間的關(guān)系時(shí)，就更接近問(wèn)題的本質(zhì)，更能體悟到數(shù)學(xué)思想的價(jià)值。在品味體驗(yàn)的過(guò)程中，兒童逐漸理解“一一間隔”規(guī)律背后隱藏的數(shù)學(xué)思想與基于思想認(rèn)識(shí)上的“精神實(shí)體”，也讓課堂教學(xué)顯得有寬度、有廣度，更有深度。

三、讓兒童觸摸數(shù)學(xué)思維中的“精神實(shí)體”——向兒童顯現(xiàn)數(shù)學(xué)思考的真正內(nèi)涵

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是要學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維，我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中要不斷激發(fā)兒童的思維，將他們的思考引向深入，向“通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”的方向發(fā)展，關(guān)注兒童數(shù)學(xué)思維中的“精神實(shí)體”，讓學(xué)習(xí)與思考相隨，讓方法與精神同存，及時(shí)優(yōu)化思維方式，在思維中體會(huì)數(shù)學(xué)的巨大力量，直抵?jǐn)?shù)學(xué)的本質(zhì)。

【案例5】認(rèn)識(shí)整億數(shù)

師：同學(xué)們，最后我們?cè)賮?lái)做一個(gè)“變數(shù)游戲”。這兒有一個(gè)數(shù)字卡片2，如果放到數(shù)位順序表這個(gè)位置，表示多少？

生：2000000000。（師對(duì)準(zhǔn)數(shù)位順序表板書）

師：你們能像老師這樣放一放，變出一個(gè)數(shù)嗎？看誰(shuí)變得多。

師：思考一下，同樣一個(gè)2，為什么會(huì)變出這么多不同的數(shù)？（展示若干不同的過(guò)程與答案）

生：在不同的數(shù)位上表示的大小也不同。

師：數(shù)學(xué)上一共有10個(gè)數(shù)字，如果這10個(gè)數(shù)字放到這么多的數(shù)位上，能組成多少個(gè)數(shù)呢？

生：無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)。

師：這正是數(shù)字的奇妙之處，也是數(shù)學(xué)的奧秘所在。

師：剛才放了這么多數(shù)，最大的數(shù)是200000000000，除了千億，我們知道還有比它更大的計(jì)數(shù)單位，但你們有沒(méi)有想過(guò)計(jì)數(shù)單位除了“個(gè)”外，會(huì)不會(huì)還有比“個(gè)”更小的呢？

生：我覺(jué)得應(yīng)該有。

認(rèn)數(shù)背后有“精神實(shí)體”嗎？認(rèn)數(shù)的本質(zhì)是什么？?jī)和癁槭裁匆J(rèn)數(shù)呢？為什么要有計(jì)數(shù)單位呢？十進(jìn)制的原理價(jià)值在哪兒？劉加霞老師指出學(xué)習(xí)自然數(shù)的兩個(gè)核心價(jià)值：進(jìn)制和位值制。回歸精神思想層面，不難發(fā)現(xiàn)位值原理是認(rèn)數(shù)到億級(jí)數(shù)的核心所在。同一個(gè)數(shù)字，由于它在所寫的數(shù)里的位置不同，所表示的“位置值”也不同。案例中巧妙的變數(shù)游戲讓學(xué)生初步感受到位值原理的價(jià)值，感受到數(shù)學(xué)的神奇與偉大，計(jì)數(shù)單位的左延與右拓，給予學(xué)生思考的空間，從精神的源頭賦予探索的方向。兒童主動(dòng)將思維的觸角指向數(shù)學(xué)的背后，努力去思考數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)藏的價(jià)值力量，感受到“認(rèn)數(shù)實(shí)體”后的精妙的“精神實(shí)體”。

數(shù)學(xué)有一種“自我生長(zhǎng)”的力量，客觀、冷峻、嚴(yán)密，仿佛不依靠人類的探索，而是一直守候在那里，等著被人們發(fā)現(xiàn)。我們的數(shù)學(xué)課堂就應(yīng)該讓兒童去感知數(shù)學(xué)那特有的眼光和素養(yǎng)，回歸數(shù)學(xué)的思想、方法、精神等特質(zhì)上來(lái)，觸摸數(shù)學(xué)的“精神實(shí)體”，并讓這種“精神實(shí)體”永駐心間。

（張祖潤(rùn)，常州市實(shí)驗(yàn)小學(xué)，213003）

責(zé)任編輯：宣麗華