培養(yǎng)計(jì)算技能需重視“過程”

很多教師在計(jì)算教學(xué)時(shí)存在只重視算理，忽視算法抽象過程，只重視計(jì)算結(jié)果，忽視對錯(cuò)誤原因的探究，只重視解決問題的訓(xùn)練，忽視計(jì)算價(jià)值的體驗(yàn)等等誤區(qū)，這是只重視結(jié)果，卻忽視過程的教學(xué)。其實(shí)計(jì)算教學(xué)和其他的教學(xué)塊一樣，有很多我們需要精加工部分，在計(jì)算的學(xué)習(xí)和練習(xí)過程中有很多環(huán)節(jié)需要我們加以重視和控制。

一、從算理到算法，建構(gòu)意義

有些教師認(rèn)為學(xué)習(xí)計(jì)算，教師講明算理后只要學(xué)生通過反復(fù)練習(xí)，學(xué)會怎么算，掌握計(jì)算的程序就是達(dá)到了計(jì)算教學(xué)的目標(biāo)，忽視算理直觀到算法抽象的過程，這樣的理解是片面和狹隘的，不利于學(xué)生計(jì)算技能的形成和數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)的自主建構(gòu)。

以著名特級教師徐斌所上的蘇教版教材第四冊《兩位數(shù)乘一位數(shù)》為例（圖1）：

圖1

當(dāng)學(xué)生說出要求兩只猴子一共采了多少個(gè)桃子的算式后，教師直接提問：“這道題應(yīng)當(dāng)怎樣算呢？同桌之間可以商量一下?！睂W(xué)生討論完以后讓學(xué)生說說是怎樣想出結(jié)果的。

生：我是用乘法來算的，10乘2等于20，4乘2等于8，20加8等于28。

師：（指著屏幕）剛才有位同學(xué)說4乘2等于8，其實(shí)就是指哪一部分?。?/p>

生：是圖上右邊框里的8個(gè)桃。

師：那計(jì)算左邊兩個(gè)框里的桃子就是算什么呢？

生：10乘2等于20。

師：剛才我們先算了個(gè)位上的，再算了十位上的，接下來該怎么辦呢？

生：相加。

接下來教師根據(jù)剛才的計(jì)算思路逐步板書如下豎式。

然后讓學(xué)生用豎式計(jì)算13×2，11×7，32×3，并列出如下算式：

師：大家來看黑板上的豎式，這些算式有什么共同的地方？

生：第一次乘下來都得一位數(shù)，第二次乘下來都得兩位數(shù)。

生：我發(fā)現(xiàn)第二次乘下來都得整十?dāng)?shù)。

生：我發(fā)現(xiàn)得數(shù)個(gè)位上的數(shù)就是第一次乘得的數(shù)，十位上的數(shù)就是第二次乘得的數(shù)。

師：大家觀察都很仔細(xì)，那么你覺得像這樣寫怎么樣？

生：比較清楚。

生：清楚是清楚，不過有點(diǎn)繁，有些好像是不要寫兩次的。

師：是啊，要是能簡單些就好了。

生：其實(shí)這些豎式里都是個(gè)位加0，十位上的數(shù)就不加，還是他自己，這個(gè)0就不用寫了。

師：噢，你的想法挺好，大家聽明白了嗎，一起來看。師邊說計(jì)算過程邊如下板書。是不是簡單了？大家以后列豎式時(shí)就可以選擇簡單的寫法。剛才寫的三道算式你們能不能改成簡單的寫法。

這個(gè)片段中，從算理到算法有兩個(gè)核心過程值得我們學(xué)習(xí)。

核心過程一：教師通過“剛才有位同學(xué)說4乘2等于8，其實(shí)就是指哪一部分啊”和“左邊兩個(gè)框里的桃子就是算什么呢”這兩個(gè)設(shè)問巧妙地將豎式和主題圖聯(lián)系起來，數(shù)形對應(yīng)，使學(xué)生很直觀地理解算理，初步建立豎式計(jì)算的模型。

核心過程二：教師結(jié)合主題圖列出豎式后，沒有急于推出這個(gè)豎式的簡化寫法，而是讓學(xué)生用這個(gè)看似笨拙的豎式方法計(jì)算三個(gè)題，再對三個(gè)題進(jìn)行比較，同時(shí)適時(shí)引導(dǎo)“這些算式有什么共同的地方”，“你覺得這樣寫怎么樣”等幾個(gè)問題把學(xué)生的思維引向“化繁為簡”。這正是老師的高明之處，當(dāng)原始豎式計(jì)算時(shí)，學(xué)生還在形象的主題圖中流連，此時(shí)需要幫助學(xué)生在生動(dòng)的主題圖和抽象的簡化算式之間架一座橋梁，這座橋梁就是被徐老師精描細(xì)繪的沒有簡化的豎式，這樣的處理符合學(xué)生從動(dòng)作思維到形象思維再到抽象思維的心理學(xué)規(guī)律。

計(jì)算算法的抽象性決定了教師在進(jìn)行計(jì)算教學(xué)時(shí)必須把知識組織成有意義的命題，抓住新舊知識之間的生長點(diǎn)，讓學(xué)生經(jīng)歷計(jì)算知識的產(chǎn)生，發(fā)生，發(fā)展過程，才有利于學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)重組，從而幫助學(xué)生從意義上理解知識。

數(shù)學(xué)技能學(xué)習(xí)初始階段屬于概念學(xué)習(xí)，是學(xué)生對技能是什么的學(xué)習(xí)，是認(rèn)知思維過程，所以對于計(jì)算技能的習(xí)得首先是對數(shù)學(xué)知識的理解，需要讓學(xué)生完整經(jīng)歷從算理理解到算法抽象的過程，這個(gè)過程不應(yīng)該是飛越過程，而應(yīng)該是一個(gè)自然銜接的過程。徐斌老師正是通過細(xì)膩的教學(xué)設(shè)計(jì)，在算理的直觀和算法的抽象之間讓學(xué)生充分體驗(yàn)，感悟，使學(xué)生知其然更知其所以然，促進(jìn)學(xué)生對知識的意義建構(gòu)。

二、細(xì)化練習(xí)過程，形成技能

“數(shù)學(xué)技能是指通過練習(xí)而形成的，順利完成數(shù)學(xué)活動(dòng)的一種動(dòng)作方式，往往表現(xiàn)為完成數(shù)學(xué)任務(wù)所需要的動(dòng)作協(xié)調(diào)和自動(dòng)化[1]”。重視基本技能一直是我國數(shù)學(xué)教學(xué)的特色，形成基本技能也是新課標(biāo)中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要目標(biāo)之一。學(xué)生計(jì)算技能的習(xí)得不是機(jī)械重復(fù)的訓(xùn)練，而應(yīng)當(dāng)是遵循基本的心理學(xué)規(guī)律和學(xué)生的身心發(fā)展特點(diǎn)的，有邏輯的，有層次的，有具體目標(biāo)的，高效的訓(xùn)練。

1.課前重點(diǎn)鋪墊。以蘇教版教材第五冊《三位數(shù)乘一位數(shù)豎式計(jì)算》為例，教學(xué)實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生計(jì)算時(shí)的常見錯(cuò)誤是先乘后加時(shí)出錯(cuò)。如下面算式所示：

“乘加”環(huán)節(jié)出錯(cuò)妨礙了學(xué)生的技能形成的準(zhǔn)確性。顯然在明確算法基礎(chǔ)上進(jìn)行適量合理的練習(xí)是必要的，但是如果此處進(jìn)行重復(fù)的豎式練習(xí)既不能有重點(diǎn)地解決問題，也增加了學(xué)生的負(fù)擔(dān)。所以在教學(xué)這個(gè)單元的知識之前，我們先行對學(xué)生進(jìn)行了乘加的口算練習(xí)。乘加口算練習(xí)在教材中沒有單獨(dú)列為計(jì)算要求，但不等于就不需要練習(xí)。列舉了計(jì)算中會出現(xiàn)的有進(jìn)位的乘加口算，進(jìn)行專項(xiàng)的練習(xí)后，學(xué)生在計(jì)算三位數(shù)乘一位數(shù)的豎式計(jì)算的正確率和速度明顯提高。

小學(xué)階段的計(jì)算知識中還有如兩位數(shù)除以一位數(shù)的豎式計(jì)算，如果先行進(jìn)行表內(nèi)有余數(shù)的除法口算練習(xí)，對提高學(xué)生試商的正確率有很大幫助，再如學(xué)習(xí)三位數(shù)除以兩位數(shù)時(shí)，如果先掌握了百以內(nèi)的兩位數(shù)乘一位數(shù)乘法，可以明顯提高學(xué)生的正確率和速度。

2.課中難點(diǎn)聚焦。以蘇教版教材二年級退位減豎式計(jì)算為例。眾所周知，隔位退位減是教學(xué)減法的難點(diǎn)，為什么學(xué)生在計(jì)算的時(shí)候這么難呢？是因?yàn)槌橄蠡乃惴ê托蜗蠡膿苤閯?dòng)作之間學(xué)生難以跨越。是不是每個(gè)步驟都這么難呢？仔細(xì)分析學(xué)生的做題過程不難發(fā)現(xiàn)，其實(shí)難點(diǎn)就在三位數(shù)減一位數(shù)的隔位退位減。教學(xué)中針對這個(gè)難點(diǎn)展開專項(xiàng)練習(xí)，必將取得事半功倍的效果。一位教師是這樣上的：

師：在計(jì)數(shù)器上你會撥出402嗎？

生：會?。ㄔ谟?jì)數(shù)器上撥出402。）

師：會撥出402-3的計(jì)算過程嗎？我們一起來試一試。（師生共同撥珠，同時(shí)多媒體展示過程。這個(gè)過程中，學(xué)生在老師的步步引領(lǐng)下自然地說出個(gè)位不夠，向十位借一，可是十位也沒有就向百位借一，就在十位上撥10，再從十位上撥去一，在個(gè)位上撥10個(gè)珠，最后從個(gè)位上去掉3。）

師：真不錯(cuò)。再來一個(gè)。在計(jì)數(shù)器上一邊撥一邊說一說201—4的計(jì)算過程。

學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行計(jì)算。

師：我這里還有一個(gè)，不知你還能不能做。

生饒有興趣地回答：能！

楊老師出示：1000—3，并請生上來板演。

生：板演并口述過程。

板演的學(xué)生一邊說一邊撥的過程，很自然地引起學(xué)生的共鳴，很多學(xué)生跟著一起說：個(gè)位上0減3不夠減，從十位退，十位沒有，從百位退，百位還是沒有，從千位退；千位退給百位，百位退給十位，十位退給個(gè)位……學(xué)生能很快地把這個(gè)過程撥出來，說出來。

這個(gè)片段中教師在難點(diǎn)處聚焦，通過專項(xiàng)的撥珠練習(xí)，數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生在難點(diǎn)處形成清晰的表象，借助表象把外部的動(dòng)作轉(zhuǎn)化為內(nèi)部的思考過程，促進(jìn)計(jì)算技能的形成。

《標(biāo)準(zhǔn)》對計(jì)算技能提出了具體的可量化目標(biāo)。筆者這里所談的訓(xùn)練方法并不是要拔高對學(xué)生計(jì)算的要求，是把一個(gè)知識塊分解成若干個(gè)環(huán)節(jié)或步驟，放大關(guān)鍵性的細(xì)節(jié)，有目標(biāo)地通過對某項(xiàng)計(jì)算知識的各個(gè)節(jié)點(diǎn)的專項(xiàng)訓(xùn)練，幫助學(xué)生拾階而上，提高計(jì)算的準(zhǔn)確性和速度，逐步達(dá)到計(jì)算技能的自動(dòng)化，也使學(xué)生學(xué)得有條理，學(xué)得輕松。教師在教學(xué)過程中只有抓住了教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，把握住了學(xué)生技能形成的規(guī)律，才能避免教學(xué)資源的浪費(fèi)，達(dá)到培養(yǎng)技能的目標(biāo)。

三、重視改錯(cuò)辨析過程，積累經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生在計(jì)算時(shí)會犯一些常見的錯(cuò)誤，教材針對這些問題安排了多個(gè)改錯(cuò)題，這些題對于學(xué)生掌握計(jì)算規(guī)則，積累計(jì)算經(jīng)驗(yàn)有著重要作用，教學(xué)這些錯(cuò)題時(shí)“改”不是目的，目的在于教師要通過分析算理，明晰算法幫助學(xué)生找到錯(cuò)誤的根本原因，從意義上理解計(jì)算知識，積累計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，從而提高技能。一位教師對于錯(cuò)題的教學(xué)過程值得推薦。以兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算為例：

師：13×4到底等于42，還是等于52呢？看來有不同意見了，下面我們來討論一下：（1）算出13×4的準(zhǔn)確得數(shù)；（2）猜一猜算錯(cuò)的人是怎么想的；（3）怎樣避免再次發(fā)生這樣的錯(cuò)誤。

學(xué)生通過豎式計(jì)算，發(fā)現(xiàn)得數(shù)是52。

師：你知道算錯(cuò)的同時(shí)是怎么想的嗎？

生：我想他們是計(jì)算3乘4的時(shí)候沒有進(jìn)位，用1乘4等于4，沒有加進(jìn)上來的1，所以得數(shù)就等于42了。

師：那我們以后怎么避免自己忘記進(jìn)位呢？

生：我們可以在十位上寫一個(gè)小小的1，做為記號以后就不會算錯(cuò)了。

生：老師，我想他們在計(jì)算的時(shí)候是算成了14乘3了，14乘3就是42，可是13乘4卻是52。

師：嗯，有道理。像這樣會錯(cuò)的題還有嗎？

經(jīng)過思考學(xué)生說出了14×5和15×4，16×5和15×6，24×5和25×4，14×6和16×4等等題，教師也都一一板書······

在這個(gè)片段中，教師面對學(xué)生的錯(cuò)誤，不是一改了之，而有明確的指導(dǎo)目標(biāo)，通過“猜猜做錯(cuò)的同學(xué)是怎么想的”幫助學(xué)生暴露錯(cuò)誤，找到錯(cuò)誤的根源，通過“怎么避免這樣的錯(cuò)誤”引導(dǎo)學(xué)生在更高層次上思考以后避免這種錯(cuò)誤的根本辦法，一個(gè)簡單的錯(cuò)題改正從個(gè)別問題上升為共性問題，使學(xué)生積累了學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，提升了學(xué)生思維。在這個(gè)改錯(cuò)的過程中教師沒有越俎代庖，只是在適當(dāng)時(shí)候適時(shí)點(diǎn)撥，把舞臺留給了學(xué)生，放開了學(xué)生的思維，才有了多元的思考，不同的見地。

教師在教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生充分開展自主的、獨(dú)立的活動(dòng)，建立順利完成某種數(shù)學(xué)活動(dòng)所必須的活動(dòng)方式或心智活動(dòng)方式的親身體驗(yàn)，并且盡量讓學(xué)生自己進(jìn)行概括，以豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)過程，促進(jìn)學(xué)生自主地完善自己的知識系統(tǒng)，提升技能。

四、體驗(yàn)估算過程，活學(xué)活用

《標(biāo)準(zhǔn)》在第一學(xué)段和第二學(xué)段的總要求分別提出了“加強(qiáng)估算”，數(shù)學(xué)學(xué)科中的運(yùn)算已經(jīng)由過去只注重筆算拓展到筆算、口算、估算并重。事實(shí)上實(shí)際生活中估算比精確計(jì)算有更廣的應(yīng)用范圍。教材中教學(xué)計(jì)算的例題和習(xí)題里都有明確的估算要求。

估算的教學(xué)和其余計(jì)算的教學(xué)不同之處在于，估算沒有獨(dú)立的章節(jié)和課時(shí)，而是嵌入其他教學(xué)環(huán)節(jié)中，這不是把估算的地位擺在精確計(jì)算之后，而是體現(xiàn)了估算對于矯正計(jì)算結(jié)果，探索計(jì)算方法，解決實(shí)際問題的重要作用。隨著新課程改革的深入，估算教學(xué)在課堂里已經(jīng)越來越被老師們所重視，但是也應(yīng)當(dāng)看到學(xué)生們學(xué)習(xí)了估算，在實(shí)際解決問題過程中卻很少使用估算。分析其原因，一是教材中的估算習(xí)題大多是指令性的，對估算的評價(jià)方式單一，是為估算而估算，沒有激發(fā)起學(xué)生的估算的內(nèi)在需求；二是進(jìn)行的估算練習(xí)較少，除了教材上出現(xiàn)，在試卷上和習(xí)題中一般難覓蹤跡；三是學(xué)生自學(xué)習(xí)計(jì)算以來已經(jīng)習(xí)慣了精確計(jì)算，估算知識還沒有被學(xué)生納入自己的計(jì)算系統(tǒng)中。針對這樣的情況，教師在教學(xué)估算知識時(shí)就不能孤立地教，應(yīng)以具體問題為載體，注意和實(shí)際問題相結(jié)合；針對不同問題進(jìn)行不同估算方法的指導(dǎo)；創(chuàng)新估算習(xí)題的設(shè)計(jì)；既重視明確估算題的教學(xué)，更注重估算意識的滲透；評價(jià)時(shí)不僅重視估算方法的掌握，也重視估算意識的形成。筆者認(rèn)為以下的兩點(diǎn)做法在促進(jìn)學(xué)生估算意識的形成有明顯的作用。

1.發(fā)掘教材習(xí)題中的估算價(jià)值，拓展思維。例如蘇教版第八冊教材有這樣的習(xí)題：

這一題是《用商不變的規(guī)律進(jìn)行簡便計(jì)算》想想做做的改錯(cuò)題，學(xué)生觀察豎式之后大多能發(fā)現(xiàn)這樣的計(jì)算是錯(cuò)誤的，教師此時(shí)可以追問一句：“不看豎式，有誰看出這題算錯(cuò)了嗎？”來啟發(fā)學(xué)生用估算的方法判斷，感受估算對檢驗(yàn)結(jié)果的作用。教師在教學(xué)中不可囿于教材的安排，如果能在平時(shí)的教學(xué)中發(fā)掘習(xí)題的估算價(jià)值，注重估算意識的滲透，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度思考，長此以往可以使學(xué)生面對類似的問題時(shí)更主動(dòng)地進(jìn)行估算，使思維更趨開放和靈活。

2.重視間接經(jīng)驗(yàn)，積極評價(jià)。不可否認(rèn)我們的學(xué)生中總有一些思維活躍，能力較強(qiáng)的孩子，這些孩子往往也具有靈活使用估算方法解決問題的能力。對于這樣的孩子我們應(yīng)當(dāng)表示出贊賞和鼓勵(lì)，并把他們的解題經(jīng)歷展示給其余學(xué)生，通過積極的評價(jià)引導(dǎo)，強(qiáng)化學(xué)生對估算的認(rèn)同。

教學(xué)三位數(shù)乘一位數(shù)有這樣一題：小麗家到少年宮路程有1千米，她騎自行車從家去少年宮，每分鐘行170米，7分鐘能到少年宮嗎？在學(xué)生們正埋頭計(jì)算時(shí)，我發(fā)現(xiàn)一個(gè)孩子沒有動(dòng)筆，就把手舉了起來，詢問之后知道他用了估算的方法較快知道了答案。在反饋的時(shí)候我有意先讓那個(gè)孩子來說說自己的想法：“170乘7，如果100乘7就是700，離1000還差300米，70乘7等于490，已經(jīng)超過了300，所以我知道他能到少年宮的?！边@是多么有價(jià)值的思考方法啊，我對他進(jìn)行了濃墨重彩的點(diǎn)評，這樣的例子在課堂中應(yīng)該不少，教師有意把估算方法擺在重要的位置上，讓其余學(xué)生間接經(jīng)歷估算過程，在此過程中體會估算的價(jià)值，久而久之，估算必能在學(xué)生的思維中扎根。

學(xué)會估算是技能形成的認(rèn)知階段，會靈活進(jìn)行估算是技能的自動(dòng)化階段，從學(xué)會方法到靈活使用方法，需要教師引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷估算過程，體驗(yàn)估算價(jià)值，積累估算經(jīng)驗(yàn)。所以學(xué)生的估算意識和估算能力的培養(yǎng)不是一朝一夕能完成的，要成為一線教師的長期教學(xué)目標(biāo)。由于學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的限制，要使學(xué)生形成估算的技能，需要教師有估算教學(xué)的意識，并有方法地啟發(fā)與引導(dǎo)才能使學(xué)生熟練掌握估算技能，自覺運(yùn)用估算解決問題。

學(xué)生計(jì)算技能的習(xí)得不是通過單一的機(jī)械重復(fù)訓(xùn)練就能在內(nèi)部自動(dòng)形成的，心理學(xué)的理論告訴我們技能的習(xí)得必須經(jīng)歷認(rèn)知階段、練習(xí)階段、自動(dòng)化階段。在這個(gè)過程中教師的引導(dǎo)作用不容忽視。教師必須理解學(xué)生學(xué)習(xí)的心理過程和數(shù)學(xué)知識是內(nèi)在邏輯規(guī)律，給學(xué)生提供多樣化的活動(dòng)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷計(jì)算知識發(fā)生發(fā)展過程，主動(dòng)操作，積極實(shí)踐，自我總結(jié)，從而培養(yǎng)計(jì)算能力，并從中學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，感受數(shù)學(xué)的價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1]曹才翰.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2006.

（單敏、陳濤，宜興市陶城實(shí)驗(yàn)小學(xué)，214200）

責(zé)任編輯：趙赟