數列求和的若干方法

【摘要】數列求和是高考中的一類熱點考題。本文通過找數列的通項公式，觀察通項公式的特征，對題型進行歸類整理，介紹了近十種數列求和的常用方法，對此類問題的求解起到很大的幫助。

【關鍵詞】數列 前n項和 通項公式

【中圖分類號】G633.6【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）12-0154-01

數列的求和問題是高中數學的一個重要內容，它常以壓軸的身份出現在高考的數列題目之中，由于此類題的題型較多，方法較活，導致高考的得分率偏低。下面集中整理了數列求和的常用方法，希望能對需要的考生有所幫助。

一、公式法求和

直接套用公式對數列進行求和是最基本的方法，對于等差、等比數列，無窮遞縮等比數列的求和公式應用屬于基礎練習，在此不再贅述。

例1 求數列{n（n+1）（2n+1）}的前n項和。

解此題的關鍵在于分析出這是由三個常用數列經過簡單的基本運算得到的一個新數列的求和問題。

二、錯位相減法求和

這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，主要用于求數列{an· bn}的前n項和，其中{an}、{bn}分別是等差數列和等比數列。

三、倒序相加法求和

這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個（a1+an）。

例3 求sin21o+sin22o+sin23o+…+sin288o+sin289o的值

解此題的關鍵是明確三角函數變形公式sin2α+sin2（90o-α）=1， 然后利用倒序相加，問題迎刃而解。

四、分組法求和

有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可。

五、裂項法求和

這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用。裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的。

通項分解（裂項）如：（1）an=f（n+1）-f（n）

六、合并法求和

針對一些特殊的數列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn。

例6 求cos1°+ cos2°+ cos3°+…+ cos178°+ cos179°的值。

解此題的關鍵是找到特殊性質項cosn°=-cos（180°-n°），從而合并求和簡化運算。

七、利用數列的通項求和

先根據數列的結構及特征進行分析，找出數列的通項及其特征，然后再利用數列的通項揭示的規律來求數列的前n項和，是一個重要的方法。